Determine as segeintes integrais indefindas.
\int 5 x^{2}-2 e^{x}+9 d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: calcular a integral indefinida
\int 5x^{2}-2e^{x}+9\;dx.
Ou seja, encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=5x^{2}-2e^{x}+9. As informações dadas são os três termos da soma dentro da integral: 5x^{2}, -2e^{x} e 9.

Passo 2

Regra que vamos usar (linearidade da integral): a integral da soma é a soma das integrais e constantes podem sair da integral. Em forma de fórmula:
\int (a f(x) + b g(x) + c)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx + c\int 1\,dx.
Isto significa que podemos integrar termo a termo: integrar 5x^{2}, integrar -2e^{x} e integrar 9 separadamente.

Passo 3

Integral do primeiro termo 5x^{2}.
Regra (regra da potência): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=2. Aplicando e lembrando da constante multiplicativa 5:
\int 5x^{2}\,dx = 5\int x^{2}\,dx = 5\cdot\frac{x^{3}}{3} = \frac{5}{3}x^{3}.

Passo 4

Integral do segundo termo -2e^{x}.
Regra para a exponencial: a função e^{x} é própria porque \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}. Logo uma primitiva de e^{x} é e^{x}. Com a constante -2:
\int -2e^{x}\,dx = -2\int e^{x}\,dx = -2e^{x}.

Passo 5

Integral do terceiro termo 9.
Regra para constante: \int c\,dx = c x + C. Assim,
\int 9\,dx = 9x.

Passo 6

Juntando os resultados das integrais termo a termo (e acrescentando a constante de integração C), a primitiva geral do integrando é a soma das primitivas parciais.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{3}x^{3}-2e^{x}+9x+C

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