Determine as seguentes integrais indefindas
\int \sqrt{x} d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva (integração indefinida) da função \sqrt{x}. Ou seja, encontrar uma função F(x) tal que \dfrac{d}{dx}F(x)=\sqrt{x}, e apresentar a constante de integração C.
Informações dadas:
  • A integral a resolver é \displaystyle \int \sqrt{x}\, dx.
  • A raiz quadrada aqui é a raiz principal, então \sqrt{x} está definida para x\ge 0.

Passo 2

Primeiro passo prático: reescrever a função em potência, que é mais fácil de integrar. Lembra que
\sqrt{x}=x^{1/2}.
Portanto a integral vira
\int \sqrt{x}\, dx=\int x^{1/2}\, dx.

Passo 3

Vamos usar a regra básica de potências para integrais. A regra diz:
\int x^{n}\, dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\qquad n\neq -1.
Explicando bem: aqui n é um número real que indica o expoente da função x^{n}. A razão dessa fórmula é simples: a derivada de x^{m} é m x^{m-1}. Se escolhermos m=n+1, então
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)=\frac{n+1}{n+1}x^{(n+1)-1}=x^{n},
logo a fórmula de integração é a antiderivada correta.

Passo 4

Aplicando a regra com n=\tfrac{1}{2}:
\int x^{1/2}\, dx=\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1}+C=\frac{x^{3/2}}{3/2}+C.

Passo 5

Simplificando a divisão por fração:
\frac{1}{3/2}=\frac{2}{3},
então
\int \sqrt{x}\, dx=\frac{2}{3}x^{3/2}+C.
Também se pode escrever x^{3/2}=x\cdot x^{1/2}=x\sqrt{x}, então uma forma alternativa é
\int \sqrt{x}\, dx=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C.

Passo 6

Checagem rápida (sempre bom fazer na prova): derivando a resposta obtida:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{2}{3}x^{3/2}\right)=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}x^{1/2}=x^{1/2}=\sqrt{x},
portanto está correta.

Passo 7

Método alternativo (útil para praticar substituição): faça u=\sqrt{x}, então x=u^{2} e dx=2u\,du. A integral fica
\int \sqrt{x}\,dx=\int u\cdot(2u\,du)=2\int u^{2}\,du=2\cdot\frac{u^{3}}{3}+C=\frac{2}{3}u^{3}+C=\frac{2}{3}x^{3/2}+C,
mesmo resultado.

Passo 8

Resumo rápido para a prova: assim que vir \sqrt{x}, pense em x^{1/2} e aplique a regra da potência. Mantenha a constante C. Você está indo bem — uma integral simples dessas é quase automática com prática!

Resposta

\dfrac{2}{3}x^{3/2}+C

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