Determine as seguentes integrais indefindas
\int \frac{d x}{\sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{\sqrt{x}}.
Informações relevantes: a variável é x e a expressão \sqrt{x} representa a raiz quadrada de x. Deve-se dar a primitiva geral (com constante de integração).

Passo 2

Primeiro passo prático: reescrever a função em potência, porque a regra mais direta para integrar é a da potência. Lembrando que
\sqrt{x}=x^{1/2},
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\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}.
Assim a integral fica
\int \frac{dx}{\sqrt{x}} = \int x^{-1/2}\,dx.

Passo 3

Agora a regra que vamos usar: a regra da potência para antiderivadas. Ela diz que, para qualquer número real n diferente de -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração. Explicando: n é o expoente da potência; adiciona-se 1 ao expoente e divide-se pelo novo expoente. Isso vem diretamente da regra da derivada invertida.

Passo 4

Aplicando a regra com n=-\tfrac{1}{2}. Calculamos n+1:
n+1 = -\tfrac{1}{2} + 1 = \tfrac{1}{2}.
Usando a fórmula,
\int x^{-1/2}\,dx = \frac{x^{(-1/2)+1}}{(-1/2)+1} + C = \frac{x^{1/2}}{1/2} + C.
Dividir por \tfrac{1}{2} é o mesmo que multiplicar por 2, portanto
\frac{x^{1/2}}{1/2} = 2x^{1/2} = 2\sqrt{x}.

Passo 5

Verificação rápida (para você poder usar na prova como cheque mental): derive a primitiva obtida e veja se volta ao integrando. Derivando 2\sqrt{x}=2x^{1/2},
\frac{d}{dx}\bigl(2x^{1/2}\bigr) = 2\cdot\tfrac{1}{2}x^{-1/2} = x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}.
Está correto.

Passo 6

Observação sobre domínio: a expressão \frac{1}{\sqrt{x}} está definida para x>0. Portanto a primitiva 2\sqrt{x}+C vale no intervalo onde x>0. Em contextos onde se quer considerar x<0 com raízes complexas, seria outra história, mas para a análise real tomamos x>0.

Resposta

2\sqrt{x}+C

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