Determine as seguentes integrais indefindas
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações relevantes: a variável é
e a expressão
representa a raiz quadrada de
. Deve-se dar a primitiva geral (com constante de integração).
Passo 2
Primeiro passo prático: reescrever a função em potência, porque a regra mais direta para integrar é a da potência. Lembrando que
logo
Assim a integral fica
Passo 3
Agora a regra que vamos usar: a regra da potência para antiderivadas. Ela diz que, para qualquer número real
diferente de
,
onde
é a constante de integração. Explicando:
é o expoente da potência; adiciona-se
ao expoente e divide-se pelo novo expoente. Isso vem diretamente da regra da derivada invertida.
Passo 4
Aplicando a regra com
. Calculamos
:
Usando a fórmula,
Dividir por
é o mesmo que multiplicar por
, portanto
Passo 5
Verificação rápida (para você poder usar na prova como cheque mental): derive a primitiva obtida e veja se volta ao integrando. Derivando
,
Está correto.
Passo 6
Observação sobre domínio: a expressão
está definida para
. Portanto a primitiva
vale no intervalo onde
. Em contextos onde se quer considerar
com raízes complexas, seria outra história, mas para a análise real tomamos
.