Determine as seguentes integrais indefindas
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A variável de integração é
. - A integranda é
. - Como é uma integral indefinida, o resultado deve conter a constante de integração
.
Nada mais é fornecido; o objetivo é encontrar uma primitiva (função cujo derivada é a integranda).
Passo 2
Regra útil (linearidade das integrais). Para funções
e
e constantes
vale
Isto significa que dá para separar a integral em partes e puxar constantes para fora. Aqui usaremos isso para tratar separadamente
e
.
Passo 3
Regra do poder (regra básica de antiderivação). Para um expoente
tal que
,
- Nesta fórmula
é a variável e é o expoente. - Observação importante: o caso
é especial e dá logaritmo: . Não é o caso da nossa integral, mas é um ponto que costuma gerar erro.
Passo 4
Reescrever a primeira parcela da integranda em forma de potência para aplicar a regra do poder:
Aplicando linearidade:
Passo 5
Calcular
. Puxando a constante
para fora:
Agora aplicando a regra do poder com
:
Multiplicando por
:
Passo 6
Calcular
. Regra da constante:
Como temos
na expressão original, isso dá
.
Passo 7
Juntando os resultados das duas partes e colocando a única constante de integração
:
Observação sobre domínio: a primitiva está definida para
(porque
não está definida em
).
Passo 8
Verificação rápida por diferenciação (checar que é realmente uma primitiva). Derivando
:
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta.