Determine as seguentes integrais indefindas
\int\left(\frac{3}{x^{2}}-5\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(\frac{3}{x^{2}}-5\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A variável de integração é x.
  • A integranda é \dfrac{3}{x^{2}}-5.
  • Como é uma integral indefinida, o resultado deve conter a constante de integração C.
    Nada mais é fornecido; o objetivo é encontrar uma primitiva (função cujo derivada é a integranda).

Passo 2

Regra útil (linearidade das integrais). Para funções f(x) e g(x) e constantes a,b vale
\int\bigl(a\,f(x)+b\,g(x)\bigr)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx.
Isto significa que dá para separar a integral em partes e puxar constantes para fora. Aqui usaremos isso para tratar separadamente \dfrac{3}{x^{2}} e -5.

Passo 3

Regra do poder (regra básica de antiderivação). Para um expoente n tal que n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
  • Nesta fórmula x é a variável e n é o expoente.
  • Observação importante: o caso n=-1 é especial e dá logaritmo: \int x^{-1}\,dx=\int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C. Não é o caso da nossa integral, mas é um ponto que costuma gerar erro.

Passo 4

Reescrever a primeira parcela da integranda em forma de potência para aplicar a regra do poder:
\frac{3}{x^{2}} = 3x^{-2}.
Aplicando linearidade:
\int\left(\frac{3}{x^{2}}-5\right)\,dx = \int 3x^{-2}\,dx - \int 5\,dx.

Passo 5

Calcular \displaystyle \int 3x^{-2}\,dx. Puxando a constante 3 para fora:
\int 3x^{-2}\,dx = 3\int x^{-2}\,dx.
Agora aplicando a regra do poder com n=-2:
\int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -x^{-1}+C.
Multiplicando por 3:
3\int x^{-2}\,dx = 3\bigl(-x^{-1}\bigr) = -3x^{-1} = -\frac{3}{x}.

Passo 6

Calcular \displaystyle \int 5\,dx. Regra da constante:
\int 5\,dx = 5x + C.
Como temos -\int 5\,dx na expressão original, isso dá -5x.

Passo 7

Juntando os resultados das duas partes e colocando a única constante de integração C:
\int\left(\frac{3}{x^{2}}-5\right)\,dx = -\frac{3}{x} - 5x + C.
Observação sobre domínio: a primitiva está definida para x\neq 0 (porque \dfrac{3}{x^{2}} não está definida em x=0).

Passo 8

Verificação rápida por diferenciação (checar que é realmente uma primitiva). Derivando -\dfrac{3}{x}-5x:
\frac{d}{dx}\!\left(-\frac{3}{x}-5x\right) = \frac{d}{dx}\left(-3x^{-1}\right) - \frac{d}{dx}(5x) = -3(-1)x^{-2} - 5 = 3x^{-2}-5,
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

-\frac{3}{x}-5x+C

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