Determine as seguentes integrais indefindas
\int 5 x^{2}-2 e^{2}+9 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\displaystyle \int 5 x^{2}-2 e^{2}+9 \, d x.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A integral é indefinida (procura-se uma antiderivada mais a constante de integração).
  • A expressão dentro da integral é uma soma de três termos: 5x^{2}, -2e^{2} e 9.
  • e é a base dos logaritmos naturais, então e^{2} é uma constante (não depende de x).

Passo 2

Usar propriedades básicas de integrais (linhares): a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Formalmente:
\int \big(5x^{2}-2e^{2}+9\big)\,dx = \int 5x^{2}\,dx - \int 2e^{2}\,dx + \int 9\,dx.
Também vale
\int a\cdot f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx
para constante a. Vou aplicar isso termo a termo.

Passo 3

Relembrando a regra do poder (power rule) para integrais, que é a ferramenta principal aqui:
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,\qquad \text{para } n \neq -1.
Isso significa que, para um polinômio, aumentamos o expoente em 1 e dividimos pelo novo expoente. Além disso, a integral de 1 (constante) é x:
\int 1\,dx = x.

Passo 4

Aplicando a regra do poder ao primeiro termo \int 5x^{2}\,dx:
\int 5x^{2}\,dx = 5\int x^{2}\,dx = 5\cdot\frac{x^{3}}{3} = \frac{5}{3}x^{3}.
Expliquei passo a passo: retirei a constante 5 para fora da integral, usei \int x^{2}dx = x^{3}/3 e multipliquei.

Passo 5

Integrando o segundo termo \int -2e^{2}\,dx. Aqui e^{2} é constante, então:
\int -2e^{2}\,dx = -2e^{2}\int 1\,dx = -2e^{2}\,x.
Mostrei que a integral de uma constante é essa constante vezes x.

Passo 6

Integrando o terceiro termo \int 9\,dx:
\int 9\,dx = 9\int 1\,dx = 9x.

Passo 7

Somando os resultados dos três termos e adicionando a constante de integração C:
\int \big(5x^{2}-2e^{2}+9\big)\,dx = \frac{5}{3}x^{3} - 2e^{2}x + 9x + C.
Opcionalmente, pode-se agrupar os termos lineares em x:
\frac{5}{3}x^{3} + \big(9-2e^{2}\big)x + C.

Passo 8

Verificação rápida por diferenciação (checagem): derivando a antiderivada obtida deve voltar ao integrando.
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{5}{3}x^{3} - 2e^{2}x + 9x + C\right) = 5x^{2} - 2e^{2} + 9,
que é exatamente o integrando. Portanto a antiderivada está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{3}x^{3} - 2e^{2}x + 9x + C

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