Determine as seguentes integrais indefindas
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
.
Informações dadas e observações iniciais:
Informações dadas e observações iniciais:
- A integral é indefinida (procura-se uma antiderivada mais a constante de integração).
- A expressão dentro da integral é uma soma de três termos:
, e . -
é a base dos logaritmos naturais, então é uma constante (não depende de ).
Passo 2
Usar propriedades básicas de integrais (linhares): a integral da soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Formalmente:
Também vale
para constante
. Vou aplicar isso termo a termo.
Passo 3
Relembrando a regra do poder (power rule) para integrais, que é a ferramenta principal aqui:
Isso significa que, para um polinômio, aumentamos o expoente em 1 e dividimos pelo novo expoente. Além disso, a integral de 1 (constante) é
:
Passo 4
Aplicando a regra do poder ao primeiro termo
:
Expliquei passo a passo: retirei a constante
para fora da integral, usei
e multipliquei.
Passo 5
Integrando o segundo termo
. Aqui
é constante, então:
Mostrei que a integral de uma constante é essa constante vezes
.
Passo 6
Integrando o terceiro termo
:
Passo 7
Somando os resultados dos três termos e adicionando a constante de integração
:
Opcionalmente, pode-se agrupar os termos lineares em
:
Passo 8
Verificação rápida por diferenciação (checagem): derivando a antiderivada obtida deve voltar ao integrando.
que é exatamente o integrando. Portanto a antiderivada está correta.