Determine as seguentes integrais indefindas
\int(2 x-1)^{3} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int(2 x-1)^{3}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a ser integrada é (2x-1)^{3}.
  • É uma integral indefinida, então o resultado deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Ideia (substituição): quando a integranda é uma função composta do tipo f(g(x)) e aparece o fator da derivada de g(x) (ou um múltiplo dela), é conveniente fazer a substituição u=g(x). Aqui, tomar
u = 2x-1
é natural porque a parte interna da potência é exatamente 2x-1. Agora calculo a diferencial de u. Derivando em relação a x:
\frac{du}{dx}=2 \quad\Rightarrow\quad du = 2\,dx \quad\Rightarrow\quad dx=\frac{du}{2}.
Explicação rápida da regra usada: a substituição troca a variável de integração de x para u; é o “função-composta invertida” do teorema da cadeia. Depois voltamos a x.

Passo 3

Faço a troca na integral usando u e dx=\dfrac{du}{2}:
\int(2x-1)^{3}\,dx = \int u^{3}\cdot\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int u^{3}\,du.
Agora aplico a regra de potência para integrais: para qualquer n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=3, portanto
\frac{1}{2}\int u^{3}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^{4}}{4}+C = \frac{u^{4}}{8}+C.

Passo 4

Volto à variável original substituindo u=2x-1:
\frac{u^{4}}{8}+C = \frac{(2x-1)^{4}}{8}+C.
Verificação rápida por derivação (checagem): derivando \dfrac{(2x-1)^4}{8} obtemos
\frac{d}{dx}\left(\frac{(2x-1)^4}{8}\right)=\frac{1}{8}\cdot 4(2x-1)^3\cdot 2 = (2x-1)^3,
que é exatamente a integranda. Logo a antiderivada está correta.

Passo 5

Método alternativo (opcional, só para reforçar): expandir o binômio e integrar termo a termo. Pelo desenvolvimento
(2x-1)^3 = 8x^3 -12x^2 +6x -1.
Integrando termo a termo:
\int(8x^3 -12x^2 +6x -1)\,dx = 2x^4 -4x^3 +3x^2 -x + C.
Comparando com \dfrac{(2x-1)^4}{8}, nota-se que
\frac{(2x-1)^4}{8} = 2x^4 -4x^3 +3x^2 -x + \frac{1}{8},
ou seja, as duas primitivas diferem apenas por uma constante, como esperado.

Resposta

\dfrac{(2x-1)^{4}}{8}+C

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