Determine as seguentes integrais indefindas
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a ser integrada é
. - É uma integral indefinida, então o resultado deve conter a constante de integração
.
Passo 2
Ideia (substituição): quando a integranda é uma função composta do tipo
e aparece o fator da derivada de
(ou um múltiplo dela), é conveniente fazer a substituição
. Aqui, tomar
é natural porque a parte interna da potência é exatamente
. Agora calculo a diferencial de
. Derivando em relação a
:
Explicação rápida da regra usada: a substituição troca a variável de integração de
para
; é o “função-composta invertida” do teorema da cadeia. Depois voltamos a
.
Passo 3
Faço a troca na integral usando
e
:
Agora aplico a regra de potência para integrais: para qualquer
,
Aqui
, portanto
Passo 4
Volto à variável original substituindo
:
Verificação rápida por derivação (checagem): derivando
obtemos
que é exatamente a integranda. Logo a antiderivada está correta.
Passo 5
Método alternativo (opcional, só para reforçar): expandir o binômio e integrar termo a termo. Pelo desenvolvimento
Integrando termo a termo:
Comparando com
, nota-se que
ou seja, as duas primitivas diferem apenas por uma constante, como esperado.