Determine as seguentes integrais indefindas
\int x d x

Passo 1

O enunciado dá a integral indefinida
\int x\,dx
e pede que se determine uma antiderivada (ou primitiva) de x. Não há outras informações no enunciado.

Passo 2

Lembrete importante (fórmula que vou usar): a regra da potência para integrais diz que, para qualquer n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde x é a variável de integração, n é o expoente, e C é a constante de integração (que aparece porque estamos lidando com uma integral indefinida). Essa fórmula vem do fato de que a derivada de x^{n+1} é (n+1)x^{n}; então, para “desfazer” a derivada multiplicamos por 1/(n+1).

Passo 3

Aplicando a regra da potência ao caso dado: aqui o integrando é x, que é x^{1}. Logo n=1. Substituindo na fórmula,
\int x\,dx = \int x^{1}\,dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} + C.

Passo 4

Simplificando a expressão do passo anterior:
\frac{x^{1+1}}{1+1} + C = \frac{x^{2}}{2} + C.
Portanto uma primitiva de x é \dfrac{x^{2}}{2}+C.

Passo 5

Verificação (cheque rápido que você pode fazer na prova): derivando a resposta obtida deve-se recuperar o integrando. Calculando a derivada,
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{2}}{2} + C\right) = \frac{2x}{2} + 0 = x,
o que confirma que a antiderivada está correta.

Passo 6

Observações didáticas e dica de prova: a constante C é necessária porque integrais indefinidas representam uma família de funções que diferem por constantes. Na prova, quando integrar um polinômio, aplique a regra da potência termo a termo; por exemplo,
\int (3x^{2}+2x+1)\,dx = 3\cdot\frac{x^{3}}{3} + 2\cdot\frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = x^{3}+x^{2}+\frac{x^{2}}{2}+C.
Não tenha medo: é só aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente.

Resposta

\dfrac{x^{2}}{2}+C

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