Determine as seguentes integrais indefindas
\int 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int 2 x\, dx.
Informações dadas:
  • A integranda é 2x.
  • Trata-se de uma integral indefinida, então o resultado precisa incluir a constante de integração (uma constante arbitrária).
    O que se quer: encontrar uma função F(x) tal que \dfrac{d}{dx}F(x)=2x.

Passo 2

Regra do fator constante (explicação didática): se uma função é multiplicada por uma constante, essa constante pode ser colocada fora da integral. Em símbolos:
\int c\cdot f(x)\,dx = c\int f(x)\,dx,
onde c é uma constante e f(x) é uma função integrável. Isso acontece porque integração é o processo inverso da diferenciação, e a derivada de c\cdot g(x) é c\cdot g'(x).

Passo 3

Aplicando a regra do fator constante ao nosso caso, com c=2 e f(x)=x:
\int 2x\,dx = 2\int x\,dx.

Passo 4

Regra da potência (explicação didática): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração. Essa fórmula vem do fato de que diferenciando \dfrac{x^{n+1}}{n+1} obtém-se x^n:
\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)=\frac{n+1}{n+1}x^{(n+1)-1}=x^{n}.
No nosso caso x é x^{1}, ou seja n=1.

Passo 5

Calcule a integral de x usando a regra da potência com n=1:
\int x\,dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = \frac{x^{2}}{2} + C.

Passo 6

Volte ao fator constante (Passo 3): multiplicando por 2,
\int 2x\,dx = 2\left(\frac{x^{2}}{2}+C\right)=x^{2}+C',
onde C'=2C é outra constante arbitrária (por convenção escrevemos simplesmente +C no resultado final).

Passo 7

Verificação rápida (para ter certeza na hora da prova): diferencie o resultado x^{2}+C:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+C\bigr)=2x,
que é exatamente a integranda. Boa—está certo!

Resposta

x^{2}+C

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