Determine as seguentes integrais indefindas
\int \frac{x^{3}}{4} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida abaixo (isto é, encontrar uma primitiva):
\int \frac{x^{3}}{4}\,dx.
Informações fornecidas:
  • A função a integrar é \dfrac{x^{3}}{4}.
  • Quer-se uma primitiva (integração indefinida), portanto a resposta deve conter a constante arbitrária de integração C.

Passo 2

Regra básica que vamos usar: a integral de uma potência de x (regra da potência) é, para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde:
  • x é a variável de integração;
  • n é o expoente (aqui será 3);
  • C é a constante de integração (porque primitivas não são únicas).
Também usamos a linearidade da integral: constante multiplicativa pode ser fatorada para fora da integral:
\int a\cdot f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx,
onde a é uma constante.

Passo 3

Aplicando a linearidade: escrever a integral como a constante 1/4 fora da integral
\int \frac{x^{3}}{4}\,dx = \frac{1}{4}\int x^{3}\,dx.

Passo 4

Agora aplicamos a regra da potência com n=3. Pela fórmula,
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^{4}}{4} + C.

Passo 5

Multiplicando pela constante \dfrac{1}{4} que tiramos fora:
\frac{1}{4}\int x^{3}\,dx = \frac{1}{4}\left(\frac{x^{4}}{4} + C\right).
A constante C multiplicada por \tfrac{1}{4} continua sendo uma constante arbitrária, então podemos escrever simplesmente outra constante C. Assim o termo principal fica
\frac{1}{4}\cdot\frac{x^{4}}{4} = \frac{x^{4}}{16}.

Passo 6

Verificação rápida (para saber se está certo): derivando a primitiva deve voltar o integrando. Seja F(x)=\dfrac{x^{4}}{16}+C. Então
F'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{4}}{16}\right)=\frac{4x^{3}}{16}=\frac{x^{3}}{4},
que é exatamente o integrando. Está correto.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{4}}{16}+C

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