Determine se as seguinte funções são produtos internos ou não.
Seja V=\mathbb{R}^{2} \mathrm{e}<\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)>=x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a função definida em V=\mathbb{R}^2 por
\langle (x_1,y_1),(x_2,y_2)\rangle = x_1 x_2 + y_1 y_2
é um produto interno.
Informações dadas e o que se deve verificar:
  • O espaço vetorial é V=\mathbb{R}^2.
  • A forma bilinear proposta está dada explicitamente como acima.
  • Deve ser verificado se essa forma satisfaz as propriedades que caracterizam um produto interno (essas propriedades serão listadas e explicadas no próximo passo).

Passo 2

Vamos lembrar, de modo claro e didático, o que é necessário para uma aplicação \langle\cdot,\cdot\rangle:V\times V\to\mathbb{R} ser um produto interno (em um espaço real). São três propriedades essenciais:
  1. Simetria: para todos u,v\in V deve valer
\langle u,v\rangle = \langle v,u\rangle.
Isto significa que trocar as posições dos vetores não altera o valor do produto.
  1. Linearidade no primeiro argumento (em espaços reais costuma-se pedir bilinearidade simétrica, ou seja linearidade em cada argumento): para todos u,v,w\in V e todo escalar \alpha\in\mathbb{R} deve valer
\langle u+v,w\rangle = \langle u,w\rangle + \langle v,w\rangle
e
\langle \alpha u, v\rangle = \alpha \langle u,v\rangle.
Isto significa que o produto interno se comporta como uma forma linear em cada entrada.
  1. Positividade definida (ou simplesmente positividade): para todo v\in V
\langle v,v\rangle \ge 0
e além disso \langle v,v\rangle = 0 se e somente se v é o vetor nulo. Isso garante que a forma define realmente um “tamanho” (norma) não-negativa e que só o vetor zero tem norma zero.
No próximo passos vamos verificar cada uma dessas propriedades explicitamente para a forma dada.

Passo 3

Verificação da simetria. Tome dois vetores genéricos u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2). Calculemos
\langle u,v\rangle = x_1 x_2 + y_1 y_2.
Agora trocando a ordem:
\langle v,u\rangle = x_2 x_1 + y_2 y_1.
Como a multiplicação de números reais é comutativa, x_1 x_2 = x_2 x_1 e y_1 y_2 = y_2 y_1. Logo
\langle u,v\rangle = \langle v,u\rangle,
ou seja, a simetria está satisfeita.

Passo 4

Verificação da aditividade (linearidade em soma) no primeiro argumento. Tome u=(x_1,y_1), v=(x_2,y_2) e w=(x_3,y_3). Então
u+v = (x_1+x_2,\; y_1+y_2).
Calculemos \langle u+v, w\rangle:
\langle u+v, w\rangle = (x_1+x_2)x_3 + (y_1+y_2)y_3.
Distribuindo:
(x_1+x_2)x_3 + (y_1+y_2)y_3 = x_1x_3 + x_2x_3 + y_1y_3 + y_2y_3.
Agrupando termos:
= (x_1x_3 + y_1y_3) + (x_2x_3 + y_2y_3) = \langle u,w\rangle + \langle v,w\rangle.
Portanto \langle u+v,w\rangle = \langle u,w\rangle + \langle v,w\rangle, a aditividade é satisfeita.

Passo 5

Verificação da homogeneidade (multiplicação por escalar) no primeiro argumento. Seja \alpha\in\mathbb{R} e u=(x_1,y_1), v=(x_2,y_2). Então
\alpha u = (\alpha x_1,\; \alpha y_1).
Calculemos \langle \alpha u, v\rangle:
\langle \alpha u, v\rangle = (\alpha x_1)x_2 + (\alpha y_1)y_2 = \alpha(x_1x_2 + y_1y_2).
Logo
\langle \alpha u, v\rangle = \alpha \langle u,v\rangle,
o que mostra a homogeneidade. Com aditividade e homogeneidade mostramos linearidade no primeiro argumento; pela simetria também é linear no segundo argumento (ou se preferir, é bilinear simétrica).

Passo 6

Verificação da positividade definida. Para v=(x,y)\in\mathbb{R}^2 temos
\langle v,v\rangle = x^2 + y^2.
Observações:
  • Para quaisquer x,y\in\mathbb{R}, x^2\ge 0 e y^2\ge 0, então x^2+y^2\ge 0. Logo \langle v,v\rangle \ge 0 para todo v.
  • Se \langle v,v\rangle = 0 então x^2+y^2=0. Mas a soma de dois quadrados reais é zero somente quando cada quadrado é zero, ou seja x=0 e y=0. Assim v=(0,0) é o único vetor que produz valor zero.
    Portanto a condição de positividade definida é satisfeita.

Passo 7

Resumo do que foi verificado (sem repetir a resposta final em forma de sentença conclusiva): mostramos que a forma proposta é simétrica, linear em cada argumento (bilinear) e positivamente definida. Como essas são exatamente as propriedades exigidas para um produto interno em um espaço real, a forma cumpre todos os requisitos. Um exemplo numérico rápido para fixar a intuição: para u=(1,2) e v=(3,4),
\langle u,v\rangle = 1\cdot 3 + 2\cdot 4 = 3 + 8 = 11,
e \langle u,u\rangle = 1^2 + 2^2 = 5>0, conforme a positividade.

Resposta

Sim, é um produto interno em \mathbb{R}^2.

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