Determine se as seguinte funções são produtos internos ou não.
Seja
.
Seja
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a função definida em
por
é um produto interno.
Informações dadas e o que se deve verificar:
Informações dadas e o que se deve verificar:
- O espaço vetorial é
. - A forma bilinear proposta está dada explicitamente como acima.
- Deve ser verificado se essa forma satisfaz as propriedades que caracterizam um produto interno (essas propriedades serão listadas e explicadas no próximo passo).
Passo 2
Vamos lembrar, de modo claro e didático, o que é necessário para uma aplicação
ser um produto interno (em um espaço real). São três propriedades essenciais:
- Simetria: para todos
deve valer
Isto significa que trocar as posições dos vetores não altera o valor do produto.
- Linearidade no primeiro argumento (em espaços reais costuma-se pedir bilinearidade simétrica, ou seja linearidade em cada argumento): para todos
e todo escalar deve valer
e
Isto significa que o produto interno se comporta como uma forma linear em cada entrada.
- Positividade definida (ou simplesmente positividade): para todo
e além disso
se e somente se
é o vetor nulo. Isso garante que a forma define realmente um “tamanho” (norma) não-negativa e que só o vetor zero tem norma zero.
No próximo passos vamos verificar cada uma dessas propriedades explicitamente para a forma dada.
Passo 3
Verificação da simetria. Tome dois vetores genéricos
e
. Calculemos
Agora trocando a ordem:
Como a multiplicação de números reais é comutativa,
e
. Logo
ou seja, a simetria está satisfeita.
Passo 4
Verificação da aditividade (linearidade em soma) no primeiro argumento. Tome
,
e
. Então
Calculemos
:
Distribuindo:
Agrupando termos:
Portanto
, a aditividade é satisfeita.
Passo 5
Verificação da homogeneidade (multiplicação por escalar) no primeiro argumento. Seja
e
,
. Então
Calculemos
:
Logo
o que mostra a homogeneidade. Com aditividade e homogeneidade mostramos linearidade no primeiro argumento; pela simetria também é linear no segundo argumento (ou se preferir, é bilinear simétrica).
Passo 6
Verificação da positividade definida. Para
temos
Observações:
- Para quaisquer
, e , então . Logo para todo . - Se
então . Mas a soma de dois quadrados reais é zero somente quando cada quadrado é zero, ou seja e . Assim é o único vetor que produz valor zero.
Portanto a condição de positividade definida é satisfeita.
Passo 7
Resumo do que foi verificado (sem repetir a resposta final em forma de sentença conclusiva): mostramos que a forma proposta é simétrica, linear em cada argumento (bilinear) e positivamente definida. Como essas são exatamente as propriedades exigidas para um produto interno em um espaço real, a forma cumpre todos os requisitos. Um exemplo numérico rápido para fixar a intuição: para
e
,
e
, conforme a positividade.
Resposta
Sim, é um produto interno em
.