Determine se a seguinte integral imprópria converge:
integral1^infty x^-12 d x

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da integral imprópria integral1^infty x^-1/2,dx. O conteúdo envolvido é integral imprópria com limite superior infinito, e vamos precisar usar definição de limite de integrais e antiderivada de potências.

Passo 2

Para lidar com o infinito no limite superior, reescrevemos a integral como um limite:
integral1^infty x^-1/2,dx = limRtoinfty integral1^R x^-1/2,dx
Agora encontramos a antiderivada de x^-1/2. Como a regra geral é integral x^p,dx = tfracx^p+1p+1 para pneq -1, temos:
integral x^-1/2,dx = x^-1/2+1-1/2+1 = 2x^1/2

Passo 3

Substituímos a antiderivada e avaliamos o limite:
limRtoinfty l[2R^1/2 - 2(1)^1/2r] = limRtoinfty (2raizR - 2) = infty
Aqui vemos que o valor da integral cresce sem limite ao fazermos R tender a infinito.

Passo 4

Como o resultado do limite é infinito, concluímos que a integral não se aproxima de um valor finito. Portanto, a integral imprópria diverge.

Resposta

A integral diverge (não converge para um valor finito).

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