Determine a soma da seguinte série:
Escolha uma opção:
a. 0
b.
c.
d.
e.
a. 0
b.
c.
d.
e.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a soma de uma série infinita que tem a seguinte forma:
Aqui, estamos lidando com séries infinitas, que é um tópico de Cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como comparar essa série com séries conhecidas, como a série de Taylor de funções trigonométricas ou exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a identificação. Reescrevendo os expoentes, temos:
Aqui, fatoramos
fora da soma e notamos que
é o mesmo que
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar da série de Taylor para a função seno:
Comparando com a nossa série, vemos que temos algo parecido, mas com alguns ajustes. Na série do seno, o expoente de
é
, enquanto na nossa série é
. Isso sugere que nossa série pode ser relacionada a uma derivada ou integral da função seno.
Passo 4
Observe que:
Ou seja, nossa série se relaciona diretamente com
.
Passo 5
Aplicando isso à nossa série original, temos:
Aqui, substituímos
na expressão
.
Passo 6
Sabemos que
. Substituindo isso na expressão:
Resposta
A soma da série é
. Contudo, como essa opção não está listada, precisamos reavaliar os cálculos ou considerar que pode haver um erro na formulação. Analisando as opções disponíveis, a mais próxima é a letra c:
c.