Determine o tipo de cônica representado pela equação cartesiana
em cada um dos seguintes casos:
Mostre que todas as curvas nos itens (a) e (b) têm os mesmos focos, não importando o valor de
.
Mostre que todas as curvas nos itens (a) e (b) têm os mesmos focos, não importando o valor de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar o tipo de cônica que é representada pela equação
em dois casos diferentes (a) e (b). Além disso, precisamos mostrar que, independentemente do valor de
, todas essas curvas têm os mesmos focos. Para resolver isso, vamos precisar entender as diferentes cônicas (como elipse e hipérbole) e como identificar seus focos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as formas padrão das cônicas:
- Elipse:
, onde . - Hipérbole:
.
A diferença principal está no sinal entre os termos: soma para elipse, subtração para hipérbole.
Passo 3
Agora, olhando para a equação dada:
.
O sinal entre os termos
e
é de soma, o que sugere que estamos lidando com uma elipse ou outra cônica que se encaixa nessa forma. Mas precisamos verificar os denominadores para ter certeza.
Passo 4
Vamos analisar os denominadores:
- Para a expressão ser válida em números reais, os denominadores não podem ser zero.
- Precisamos que
(como mencionado) e , ou seja, .
Então, para
, ambos os denominadores são positivos, e a equação representa uma elipse.
Passo 5
Agora, vamos considerar o caso onde
:
- O denominador de
seria , que seria negativo. - Então, a equação passa a ter um termo negativo:
.
Isso se encaixa na forma da hipérbole.
Passo 6
Agora que identificamos os tipos de cônicas para os dois casos:
- Caso (a):
→ Elipse. - Caso (b):
→ Hipérbole.
Passo 7
Por fim, vamos encontrar os focos para ambas as cônicas e mostrar que são os mesmos independente de
.
Para a elipse (
):
Para a hipérbole (
):
Então, em ambos os casos, os focos estão a uma distância de 4 unidades do centro.
Resposta
(a) Para
, a equação representa uma elipse.
(b) Para , a equação representa uma hipérbole.
Em ambos os casos, os focos das curvas estão a 4 unidades do centro, independentemente do valor de .
(b) Para
Em ambos os casos, os focos das curvas estão a 4 unidades do centro, independentemente do valor de