Determine o tipo de cônica representado pela equação cartesiana
x^2k+y^2k-16=1
em cada um dos seguintes casos:
Mostre que todas as curvas nos itens (a) e (b) têm os mesmos focos, não importando o valor de k>0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar o tipo de cônica que é representada pela equação x^2k+y^2k-16=1 em dois casos diferentes (a) e (b). Além disso, precisamos mostrar que, independentemente do valor de k > 0, todas essas curvas têm os mesmos focos. Para resolver isso, vamos precisar entender as diferentes cônicas (como elipse e hipérbole) e como identificar seus focos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as formas padrão das cônicas:
  • Elipse: x^2a^2 + y^2b^2 = 1, onde a > b.
  • Hipérbole: x^2a^2 - y^2b^2 = 1.
A diferença principal está no sinal entre os termos: soma para elipse, subtração para hipérbole.

Passo 3

Agora, olhando para a equação dada: x^2k+y^2k-16=1.
O sinal entre os termos x^2k e y^2k-16 é de soma, o que sugere que estamos lidando com uma elipse ou outra cônica que se encaixa nessa forma. Mas precisamos verificar os denominadores para ter certeza.

Passo 4

Vamos analisar os denominadores:
  • Para a expressão ser válida em números reais, os denominadores não podem ser zero.
  • Precisamos que k > 0 (como mencionado) e k - 16 > 0, ou seja, k > 16.
Então, para k > 16, ambos os denominadores são positivos, e a equação representa uma elipse.

Passo 5

Agora, vamos considerar o caso onde 0 < k < 16:
  • O denominador de y^2 seria k - 16, que seria negativo.
  • Então, a equação passa a ter um termo negativo: x^2k - y^216 - k = 1.
Isso se encaixa na forma da hipérbole.

Passo 6

Agora que identificamos os tipos de cônicas para os dois casos:
  • Caso (a): k > 16 → Elipse.
  • Caso (b): 0 < k < 16 → Hipérbole.

Passo 7

Por fim, vamos encontrar os focos para ambas as cônicas e mostrar que são os mesmos independente de k > 0.
Para a elipse ( k > 16):
c = raiza^2 - b^2 = raizk - (k - 16) = raiz16 = 4
Para a hipérbole ( 0 < k < 16):
c = raiza^2 + b^2 = raizk + (16 - k) = raiz16 = 4
Então, em ambos os casos, os focos estão a uma distância de 4 unidades do centro.

Resposta

(a) Para k > 16, a equação representa uma elipse.
(b) Para 0 < k < 16, a equação representa uma hipérbole.
Em ambos os casos, os focos das curvas estão a 4 unidades do centro, independentemente do valor de k > 0.

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