Determine a região
e troque a ordem de integração das seguintes integrais:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente determinar a região $ D $ e trocar a ordem de integração da integral dupla:
Aqui, estamos lidando com integrais duplas, que envolvem calcular a área sob uma superfície $ f(x, y) $. Para trocar a ordem de integração, precisamos entender bem a região $ D $ onde a função está sendo integrada. Vamos precisar desenhar essa região no plano $ xy $ e encontrar novos limites para $ x $ e $ y $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites atuais de integração. A integral está iterando sobre $ y $ de 0 a 1, e para cada $ y $, $ x $ varia de
até
. Isso significa que a região $ D $ está limitada por essas funções.
Para visualizar, vamos desenhar a região:
- A curva $ x = -\sqrt{1 - y^{2}} $ é a parte esquerda do círculo de raio 1 centrado na origem, já que $ x^2 + y^2 = 1 $.
- A curva $ x = 1 - \sqrt{y} $ é uma função que começa em $ x = 1 $ quando $ y = 0 $ e desce conforme $ y $ aumenta.
Nosso objetivo é reescrever essa região para integrar primeiro em relação a $ y $ e depois em relação a $ x $.
Passo 3
Vamos determinar os novos limites para $ x $ e $ y $.
-
Limites de $ x $: Observando as curvas, $ x $ varia desde o ponto mais à esquerda da região até o ponto mais à direita. O ponto mais à esquerda ocorre quando $ y = 0 $: $ x = -1 $. O ponto mais à direita é quando $ x = 1 - \sqrt{0} = 1 $. Portanto, $ x $ varia de
a . -
Limites de $ y $ para cada $ x $: Para um valor fixo de $ x $, $ y $ varia desde a parte inferior até a parte superior da região $ D $.
- A parte inferior é determinada pelo círculo: $ y = 0 $ até $ y = \sqrt{1 - x^{2}} $.
- A parte superior é determinada pela função: $ y = (1 - x)^{2} $, resolvendo $ x = 1 - \sqrt{y} $ para $ y $.
No entanto, precisamos verificar até onde essas duas curvas se encontram para ajustar os limites corretamente.
Passo 4
Vamos encontrar o ponto de interseção entre $ x = -\sqrt{1 - y^{2}} $ e $ x = 1 - \sqrt{y} $.
Igualando as duas expressões para $ x $:
Resolvendo essa equação, encontramos que $ y = 0 $ é a única solução real no intervalo considerado $ (0,1) $. Isso significa que as duas curvas se encontram apenas no ponto $ y = 0 $.
Portanto, para $ x $ de
a
, $ y $ varia de
até $ \sqrt{1 - x^{2}} $.
Passo 5
Agora que temos os novos limites, podemos reescrever a integral com a ordem de integração trocada. A nova ordem será primeiro integrar em relação a $ y $ e depois em relação a $ x $.
Portanto, a integral trocada fica:
Resposta
A ordem de integração trocada é: