Utilize a fórmula de Taylor para determinar o seguinte limite, forneça justificativas para cada etapa do cálculo:
lim x 0 sinh (x)-xx cosh (x)-x

Passo 1

O problema pede o cálculo do limite
limxto0sinh(x)-xxcosh(x)-x,
usando séries de Taylor em torno de zero para as funções hiperbólicas.

Passo 2

Para usar a série de Taylor, lembramos que em torno de 0 valem:
sinh(x)=x+x^33!+O(x^5),
cosh(x)=1+x^22!+x^44!+O(x^6)
Essas expansões vêm da definição de Taylor e nos permitem aproximar as funções por polinômios.

Passo 3

Agora expandimos o numerador:
sinh(x)-x=l(x+x^36+O(x^5)r)-x=x^36+O(x^5)

Passo 4

Em seguida, expandimos o denominador:
xcosh(x)-x=xl(1+x^22+O(x^4)r)-x=l(x+x^32+O(x^5)r)-x=x^32+O(x^5)

Passo 5

Como numerador e denominador são da ordem de x^3, podemos escrever:
sinh(x)-xxcosh(x)-x= x^36+O(x^5)x^32+O(x^5)
Ao dividir as séries, o termo x^3 se cancela, restando o quociente dos coeficientes principais.

Passo 6

Portanto o limite é
limxto0sinh(x)-xxcosh(x)-x=1/61/2=13

Resposta

1/3

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