Utilize a fórmula de Taylor para determinar o seguinte limite, forneça justificativas para cada etapa do cálculo:
Passo 1
O problema pede o cálculo do limite
usando séries de Taylor em torno de zero para as funções hiperbólicas.
Passo 2
Para usar a série de Taylor, lembramos que em torno de 0 valem:
Essas expansões vêm da definição de Taylor e nos permitem aproximar as funções por polinômios.
Passo 3
Agora expandimos o numerador:
Passo 4
Em seguida, expandimos o denominador:
Passo 5
Como numerador e denominador são da ordem de
, podemos escrever:
Ao dividir as séries, o termo
se cancela, restando o quociente dos coeficientes principais.
Passo 6
Portanto o limite é
Resposta
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