Use a derivação implícita para determinar partial z / partial x e partial z / partial y.
sen(x y z)=x+2 y+3 z

Passo 1

A questão pede para usar derivação implícita para achar as derivadas parciais partial z/partial x e partial z/partial y da equação sin(xyz)=x+2y+3z. Vamos precisar aplicar regra da cadeia e derivação implícita.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x, temos:
partialpartial x[sin(xyz)] = partialpartial x[x + 2y + 3z]
Pela regra da cadeia e lembrando que y é constante e z depende de x,
cos(xyz) cdot partial(xyz)partial x = 1 + 3partial zpartial x
Como
partial(xyz)partial x = yz + xypartial zpartial x,
substituímos e obtemos:
cos(xyz),(yz + xy,zx) = 1 + 3zx,
onde zx=partial z/partial x.

Passo 3

Isolando zx nessa expressão, agrupamos os termos que contêm zx:
xycos(xyz),zx - 3zx = 1 - yzcos(xyz)
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zx = 1 - yzcos(xyz)xycos(xyz) - 3

Passo 4

Agora derivamos implicitamente em relação a y:
partialpartial y[sin(xyz)] = partialpartial y[x + 2y + 3z]
Pela regra da cadeia,
cos(xyz) cdot partial(xyz)partial y = 2 + 3partial zpartial y
E como
partial(xyz)partial y = xz + xypartial zpartial y,
temos
cos(xyz),(xz + xy,zy) = 2 + 3zy,
onde zy=partial z/partial y.

Passo 5

Isolando zy nessa equação, obtemos:
xycos(xyz),zy - 3zy = 2 - xzcos(xyz),
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zy = 2 - xzcos(xyz)xycos(xyz) - 3

Resposta

partial zpartial x = 1 - yzcos(xyz)xycos(xyz) - 3, partial zpartial y = 2 - xzcos(xyz)xycos(xyz) - 3

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