Determine a seguinte integral imprópria, fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
integral0^infty 1e^x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria integral0^infty 1e^x,dx. O tema é integrais impróprias e funções exponenciais, e vamos precisar usar definição de integral imprópria como limite e encontrar a antiderivada de e^-x.

Passo 2

Primeiro reconhecemos que 1/e^x=e^-x e que a integral é imprópria porque o limite superior é infinito. Então escrevemos
integral0^infty e^-x,dx = limb to infty integral0^b e^-x,dx
Em seguida, achamos a antiderivada de e^-x. Sabemos que
ddxl(-e^-xr) = e^-x,
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integral e^-x,dx = -e^-x + C
Agora avaliamos o valor da integral definida no limite:
$$\lim_{b\to\infty}\Bigl[-e{-x}\Bigr]_{0}{b}
= \lim_{b\to\infty}\bigl(-e^{-b} - (-e^{0})\bigr)
= (0 - (-1)) = 1.$$
Concluímos que a integral converge e o seu valor é 1.

Resposta

1

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