Mostre que lim (x, y) (-1,3) (y-3)^2 sen^2(x+1)(x+1)^2+(y-3)^2=0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis quando (x,y)→(−1,3). O conteúdo aqui é limites em ℝ² e vamos precisar usar uma aproximação do seno perto de zero e desigualdades para comparar com função que tenha limite fácil de determinar.

Passo 2

Para simplificar a notação, fazemos a mudança de variáveis u = x+1 e v = y−3. Assim o ponto (x,y)→(−1,3) vira (u,v)→(0,0) e a função fica
F(u,v)=v^2sin^2(u)u^2+v^2

Passo 3

Perto de u=0 sabemos que | sin(u)|≤| u|. Logo
sin^2(u)<= u^2,
então
|F(u,v)|=v^2sin^2(u)u^2+v^2<=v^2u^2u^2+v^2

Passo 4

Agora note que
v^2u^2u^2+v^2=u^2cdotv^2u^2+v^2<= u^2cdot1=u^2
Como u→0 implica u²→0, pelo teorema do confronto concluímos que F(u,v)→0.

Passo 5

Portanto, voltando às variáveis originais, temos
lim(x,y)to(-1,3)(y-3)^2sin^2(x+1)(x+1)^2+(y-3)^2=0

Resposta

0

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