Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis quando (x,y)→(−1,3). O conteúdo aqui é limites em ℝ² e vamos precisar usar uma aproximação do seno perto de zero e desigualdades para comparar com função que tenha limite fácil de determinar.
Passo 2
Para simplificar a notação, fazemos a mudança de variáveis u = x+1 e v = y−3. Assim o ponto (x,y)→(−1,3) vira (u,v)→(0,0) e a função fica
Passo 3
Perto de u=0 sabemos que |
|≤|
|. Logo
então
Passo 4
Agora note que
Como u→0 implica u²→0, pelo teorema do confronto concluímos que F(u,v)→0.
Passo 5
Portanto, voltando às variáveis originais, temos