Determine a seguinte integral indefinida, fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
integral sin ^3(x)raizcos (x) d x
Em seguida, determine a seguinte integral imprópria (caso ela seja convergente), fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
integral0^pi2 sin ^3(x)raizcos (x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular primeiro a integral indefinida
integral sin^3(x)raizcos x,dx
e depois verificar se a integral imprópria
integral0^pi2 sin^3(x)raizcos x,dx
é convergente e, em caso afirmativo, encontrar o valor. O conteúdo principal é usar substituição trigonométrica, escrevendo sin^3 x=sin^2 xsin x e fazendo u=cos x.

Passo 2

Usamos sin^2 x=1-cos^2 x e definimos u=cos x, logo du=-sin x,dx. Como sin^3 x=sin^2 xsin x=(1-cos^2 x)sin x, temos
[
\int \frac{\sin^3 x}{\sqrt{\cos x}},dx=\int \frac{(1-u^2)\sin x}{\sqrt{u}},dx=-\int \frac{1-u2}{\sqrt{u}},du=-\int\bigl(u{-1/2}-u^{3/2}\bigr),du.

Passo 3

Integramos as potências de u:
-integral u^-1/2,du+integral u^3/2,du=-l(2u^1/2r)+l(tfrac25u^5/2r)+C=-2u^1/2+tfrac25u^5/2+C
Voltando a x (com u=cos x):
-2raizcos x+tfrac25(cos x)^5/2+C

Passo 4

Para a integral imprópria, usamos a antiderivada F(x)=-2raizcos x+tfrac25(cos x)^5/2. Calculamos
Fl(tfracpi2r)=0, F(0)=-2+tfrac25=-tfrac85
Logo
integral0^pi2 sin^3 xraizcos x,dx=Fl(tfracpi2r)-F(0)=0-(-tfrac85)=tfrac85,
e a integral converge.

Resposta

A integral indefinida é
-2raizcos x+25(cos x)^5/2+C
A integral imprópria converge e vale tfrac85.

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