Determine a seguinte integral indefinida, fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
Em seguida, determine a seguinte integral imprópria (caso ela seja convergente), fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
Passo 1
O enunciado pede calcular primeiro a integral indefinida
e depois verificar se a integral imprópria
é convergente e, em caso afirmativo, encontrar o valor. O conteúdo principal é usar substituição trigonométrica, escrevendo
e fazendo
.
Passo 2
Usamos
e definimos
, logo
. Como
, temos
[
\int \frac{\sin^3 x}{\sqrt{\cos x}},dx=\int \frac{(1-u^2)\sin x}{\sqrt{u}},dx=-\int \frac{1-u2}{\sqrt{u}},du=-\int\bigl(u{-1/2}-u^{3/2}\bigr),du.
\int \frac{\sin^3 x}{\sqrt{\cos x}},dx=\int \frac{(1-u^2)\sin x}{\sqrt{u}},dx=-\int \frac{1-u2}{\sqrt{u}},du=-\int\bigl(u{-1/2}-u^{3/2}\bigr),du.
Passo 3
Integramos as potências de
:
Voltando a
(com
):
Passo 4
Para a integral imprópria, usamos a antiderivada
. Calculamos
Logo
e a integral converge.
Resposta
A integral indefinida é
A integral imprópria converge e vale
.