Verifique se a função g é contínua em (0,0), em que g é a função real de duas variáveis reais dada por
g(x, y)=ccc x^2 y^2x^2+y^2, & se & (x, y) neq(0,0) 0, & se & (x, y)=(0,0)
Justifique sua resposta.

Passo 1

Estamos verificando se a função $ g(x, y) $ é contínua no ponto g(x, y) . A matéria envolvida aqui é continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e calcular o limite da função quando (0,0) se aproxima de (x, y).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função $ g(x, y) $ é contínua no ponto g(x, y) se o limite de $ g(x, y) $ quando (a, b) tende a g(x, y) for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
(x, y)
No nosso caso, queremos verificar se:
(a, b)
Sabemos que $ g(0, 0) = 0 $, então precisamos ver se o limite também é zero.

Passo 3

Vamos calcular o limite de $ g(x, y) $ quando g(x, y) se aproxima de (x, y). A função para (0,0) é:
(x, y) neq (0,0)
Para facilitar o cálculo do limite, vamos usar coordenadas polares, onde $ x = r \cos \theta $ e $ y = r \sin \theta $. Aqui, $ r $ é a distância até a origem e $ \theta $ é o ângulo.

Passo 4

Substituindo $ x $ e $ y $ por suas expressões em coordenadas polares na função $ g(x, y) $:
x
Simplificando o numerador e o denominador:
y
Usamos aqui a identidade trigonométrica $ \cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1 $.

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite de $ g(r, \theta) $ quando $ r $ tende a 0:
g(r, theta)
Como $ \cos^{2} \theta \sin^{2} \theta $ é limitado (sempre entre 0 e 1), o termo $ r^{2} $ vai dominar e fazer todo o produto tender a 0.

Passo 6

Portanto, concluímos que:
lim(x, y) to (0, 0) g(x, y) = 0 = g(0, 0)

Resposta

A função $ g $ é contínua no ponto g , pois o limite quando (0,0) tende a (x, y) é igual a $ g(0,0) $.

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