Verifique se a função
é contínua em
, em que
é a função real de duas variáveis reais dada por
Justifique sua resposta.
Passo 1
Estamos verificando se a função $ g(x, y) $ é contínua no ponto
. A matéria envolvida aqui é continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e calcular o limite da função quando
se aproxima de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função $ g(x, y) $ é contínua no ponto
se o limite de $ g(x, y) $ quando
tende a
for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, queremos verificar se:
Sabemos que $ g(0, 0) = 0 $, então precisamos ver se o limite também é zero.
Passo 3
Vamos calcular o limite de $ g(x, y) $ quando
se aproxima de
. A função para
é:
Para facilitar o cálculo do limite, vamos usar coordenadas polares, onde $ x = r \cos \theta $ e $ y = r \sin \theta $. Aqui, $ r $ é a distância até a origem e $ \theta $ é o ângulo.
Passo 4
Substituindo $ x $ e $ y $ por suas expressões em coordenadas polares na função $ g(x, y) $:
Simplificando o numerador e o denominador:
Usamos aqui a identidade trigonométrica $ \cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1 $.
Passo 5
Agora, vamos analisar o limite de $ g(r, \theta) $ quando $ r $ tende a 0:
Como $ \cos^{2} \theta \sin^{2} \theta $ é limitado (sempre entre 0 e 1), o termo $ r^{2} $ vai dominar e fazer todo o produto tender a 0.
Passo 6
Portanto, concluímos que:
Resposta
A função $ g $ é contínua no ponto
, pois o limite quando
tende a
é igual a $ g(0,0) $.