Determine todos os pontos nos quais a função é contínua, em que é a função real de duas variáveis reais dada por
Justifique sua resposta.
Passo 1
A função é dada por
Vamos estudar a continuidade em dois casos distintos: pontos (x,y)neq(0,-1) e o ponto (0,-1).
Passo 2
Para (x,y)neq(0,-1), o numerador e o denominador são funções contínuas de x,y, e o denominador nunca se anula (pois só seria zero se x=0 e y+1=0 simultaneamente). Logo g(x,y) é quociente de funções contínuas com denominador não nulo, e portanto é contínua em todo ponto (x,y)neq(0,-1).
Passo 3
Para verificar a continuidade em (0,-1), fazemos a mudança de variáveis
u = x, v = y+1,
easí o limite de g(x,y) quando (x,y)to(0,-1) vira o limite de
h(u,v)=u^2,sen^2(u^2)u^2+v^4
quando (u,v)to(0,0). Queremos mostrar que h(u,v)to0.
Passo 4
Usamos a desigualdade l|sen(u^2)r|<=|u^2| para garantir
|u^2,sen^2(u^2)|<= u^2cdot u^4=u^6
Logo
|h(u,v)|<=u^6u^2+v^4
Agora separamos em dois casos:
(1) Se |u|<=|v|^2, então u^2<= v^4 e
|h(u,v)|<=u^6v^4<=(v^2)^6v^4=v^8to0
(2) Se |u|>|v|^2, então u^2>v^4 e
|h(u,v)|<=u^6u^2=u^4to0
Em ambos os casos o limite é zero.
Passo 5
Como g(0,-1)=0 e o limite de g(x,y) ao se aproximar de (0,-1) é zero, concluímos que g é contínua em (0,-1). Portanto g é contínua em todos os pontos de R^2.