Determine a seguinte integral indefinida, fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
Em seguida, determine a seguinte integral imprópria (caso ela seja convergente), fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida usando técnicas de integração, e em seguida verificar a convergência da integral imprópria . Vamos precisar de substituição hiperbólica para tratar e de teste de convergência para a parte imprópria.
Passo 2
Para a integral indefinida, escolhemos a substituição . Assim, e . Substituindo em obtemos:
Passo 3
Agora integramos cada termo separadamente. Usamos e . Logo
Passo 4
Fazendo a retro-substituição em termos de :
Como , temos e .
Usamos a identidade .
Substituindo esses resultados, a antiderivada fica