Determine a seguinte integral indefinida, fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
integral raizx^2+16x d x
Em seguida, determine a seguinte integral imprópria (caso ela seja convergente), fornecendo justificativas para cada etapa do cálculo:
integral0^2 raizx^2+16x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral raizx^2+16x,dx usando técnicas de integração, e em seguida verificar a convergência da integral imprópria integral0^2 raizx^2+16x,dx. Vamos precisar de substituição hiperbólica para tratar raizx^2+16 e de teste de convergência para a parte imprópria.

Passo 2

Para a integral indefinida, escolhemos a substituição x=4sinh u. Assim, dx=4cosh u,du e raizx^2+16=4cosh u. Substituindo em integral raizx^2+16x,dx obtemos:

Passo 3

Agora integramos cada termo separadamente. Usamos integral sinh u,du=cosh u e . Logo

Passo 4

Fazendo a retro-substituição em termos de x:
  • Como x=4sinh u, temos sinh u = x/4 e cosh u=raizx^2+16/4.
  • Usamos a identidade tanh(u/2)=cosh u-1sinh u=raizx^2+16-4x.
    Substituindo esses resultados, a antiderivada fica
raizx^2+16 + 4ln!lvertraizx^2+16-4xrvert + C

Passo 5

Para a integral imprópria, escrevemos
integral0^2 raizx^2+16x,dx = limvarepsilonto0^+ integralvarepsilon^2 raizx^2+16x,dx = limvarepsilonto0^+l[F(2)-F(varepsilon)r],
onde F(x) é a antiderivada encontrada.

Passo 6

Ao examinar limxto0^+F(x) vemos que F(x)approx4+4ln(x/8)to-infty. Logo
integral0^2 raizx^2+16x,dx diverge, ou seja, não converge.

Resposta

integral raizx^2+16x,dx = raizx^2+16 , + 4lnlvertraizx^2+16-4xrvert + C
A integral imprópria integral0^2 raizx^2+16x,dx é divergente.

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