Mostre que raiz3, raiz3+raiz2 e raiz2-raiz2 são números irracionais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que raiz3, raiz3+raiz2 e raiz2-raiz2 são irracionais. Vamos usar prova por contradição e propriedades básicas de números racionais e irracionais.

Passo 2

Suponha, para chegar a uma contradição, que raiz3 seja racional. Então existe fração reduzida tfracab ( gcd(a,b)=1) tal que
raiz3=abElevando ao quadrado,
3b^2=a^2Isso mostra que 3mid a^2, logo 3mid a. Escrevendo a=3k, obtemos
3b^2=(3k)^2=9k^2implies b^2=3k^2,então 3mid b. Assim, 3 divide simultaneamente a e b, o que contraria gcd(a,b)=1. Logo raiz3 é irracional.

Passo 3

Agora suponha que raiz3+raiz2 seja racional, digamos raiz3+raiz2=tfracpq com gcd(p,q)=1. Ao quadrar,
3+2+2raiz6=p^2q^2implies 2raiz6=p^2-5q^2q^2,logo
raiz6=p^2-5q^22q^2seria racional. Mas podemos provar do mesmo jeito usado para raiz3 que raiz6 é irracional (assumindo raiz6=a/b e chegando a contradição em gcd(a,b)=1). Portanto raiz3+raiz2 não pode ser racional.

Passo 4

Por fim, assuma que raiz2-raiz2 seja racional, digamos raiz2-raiz2=tfracmn com gcd(m,n)=1. Elevando ao quadrado,
2-raiz2=m^2n^2implies raiz2=2-m^2n^2,o que tornaria raiz2 racional, contradizendo o fato clássico de que raiz2 é irracional.

Resposta

Os três números raiz3, raiz3+raiz2 e raiz2-raiz2 são irracionais.

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