1. A função f(x)=x^3-9 x é decrescente para -raiz3. Se h é a função inversa de f neste intervalo, encontre h^prime(0).
  2. Dada a função f(x)=x sen x, calcule .

Passo 1

Vamos analisar o que o exercício pede. No item 5 temos a função f(x)=x^3-9x, decrescente em -raiz3,raiz3, e h é sua inversa nesse intervalo. Precisamos achar h'(0) usando a fórmula da derivada da inversa. No item 6 a função é f(x)=xsin x e queremos f'''(pi/2), então vamos aplicar regra do produto e derivadas sucessivas.

Passo 2

Para o item 5 usamos a fórmula da derivada da inversa: h'(y)=1f'(x)onde x=h(y) satisfaz f(x)=y Aqui y=0, então vamos achar x tal que f(x)=0

Passo 3

Resolvendo f(x)=0 temos x^3-9x=x(x^2-9)=0implies x=0,pm3 Como só faz sentido no intervalo (-raiz3,raiz3), ficamos com x=0. Logo h(0)=0

Passo 4

Calculamos agora f'(x)=3x^2-9. Em x=0 temos f'(0)=-9. Portanto h'(0)=1f'(0)=1-9=-19

Passo 5

No item 6, para f(x)=xsin x aplicamos regra do produto sucessivamente:
f'(x)=sin x + xcos x,
f''(x)=cos x + (cos x - xsin x)=2cos x - xsin x,
f'''(x)=-2sin x - (sin x + xcos x)=-3sin x - xcos x

Passo 6

Por fim, avaliamos em x=pi/2: como sin(pi/2)=1 e cos(pi/2)=0, f'''(tfracpi2)=-3cdot1 - (tfracpi2)cdot0=-3

Resposta

h'(0)=-tfrac19 e f'''(tfracpi2)=-3.

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