Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas.
12. Um sistema consistente de equações lineares tem infinitas soluções se, e somente se, pelo menos uma coluna da matriz de coeficientes não contém uma posição pivô.
12. Um sistema consistente de equações lineares tem infinitas soluções se, e somente se, pelo menos uma coluna da matriz de coeficientes não contém uma posição pivô.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:
“Um sistema consistente de equações lineares tem infinitas soluções se, e somente se, pelo menos uma coluna da matriz de coeficientes não contém uma posição pivô.”
Informações dadas (explícitas ou implícitas):
- Tem-se um sistema linear escrito como
, onde é a matriz de coeficientes de tamanho , é o vetor coluna de incógnitas e é o vetor de termos independentes. - O sistema é consistente (ou seja, existe pelo menos uma solução).
- A afirmativa relaciona “infinitas soluções” com a existência de ao menos uma coluna de
sem posição pivô.
Passo 2
Entender termos-chave (explicação bem didática):
- Pivô / posição pivô: ao trazer a matriz
para uma forma escalonada por linhas (eliminação de Gauss), um pivô é o primeiro elemento não zero em uma linha não nula. Cada pivô fica em alguma coluna; dizemos que essa coluna “contém um pivô”. - Posto (rank) da matriz
: seja o número de pivôs obtidos (número de linhas não nulas na forma escalonada). Tem-se sempre . - Variáveis livres e básicas: se uma coluna de
não contém pivô, a variável correspondente é chamada de variável livre; as colunas que têm pivô correspondem a variáveis básicas (ou principais). - Espaço solução: para
consistente, a solução geral pode ser escrita como , onde é uma solução particular de e é qualquer solução do homogêneo . O conjunto de soluções do homogêneo é o núcleo (nullspace) de .
Passo 3
Conectar pivôs ao número de soluções (intuição formal):
- O número de variáveis é
. O número de pivôs é . Portanto o número de variáveis livres é . - O espaço de soluções do homogêneo
tem dimensão . Isso é um resultado padrão: as variáveis livres parametricamente geram a família de soluções do homogêneo. - Se
então o homogêneo tem infinitas soluções não-triviais; assim, para um sistema consistente existe pelo menos uma solução particular e, somando as infinitas do homogêneo, obtém-se uma família infinita de soluções de . - Conclusão parcial: se existe ao menos uma coluna de
sem pivô, então , logo o sistema consistente tem infinitas soluções.
Passo 4
Mostrando a direção contrária (necessidade):
- Se o sistema consistente tem infinitas soluções, então a solução geral contém pelo menos um parâmetro livre (caso contrário seria única). Isso significa que a dimensão do espaço de soluções do homogêneo é
, ou seja . - Daí segue que
, então nem todas as colunas de contêm pivô — existe pelo menos uma coluna sem pivô. - Conclusão parcial: se o sistema consistente tem infinitas soluções, então pelo menos uma coluna da matriz de coeficientes não contém pivô.
Passo 5
Observações para evitar confusões (coisa que cai em prova):
- É importante que o enunciado fale da matriz de coeficientes
(não da matriz aumentada ). A presença de um pivô na coluna aumentada pode tornar o sistema inconsistente, mas isso não entra na afirmação — aqui estamos assumindo que o sistema é consistente. - Resumo prático para usar em prova: calque
em escalonada. Se houver menos pivôs do que incógnitas, haverá variáveis livres e, sob consistência, isso gera parâmetros livres e, portanto, infinitas soluções. Se houver um pivô em cada coluna (ou seja, ), então não há variáveis livres e, se o sistema for consistente, a solução é única.
Passo 6
Exemplo rápido e concreto (para fixar):
- Exemplo com infinitas soluções:
. Aqui tem , . Na forma escalonada há 1 pivô (na primeira coluna) e a segunda coluna não tem pivô, logo variável livre — de fato as soluções são , infinitas. - Exemplo com solução única: sistema
e . Aqui tem ; todas as colunas têm pivô e, se o sistema é consistente, há solução única (aqui ).
Resposta
Verdadeira