Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas.
12. Um sistema consistente de equações lineares tem infinitas soluções se, e somente se, pelo menos uma coluna da matriz de coeficientes não contém uma posição pivô.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:
“Um sistema consistente de equações lineares tem infinitas soluções se, e somente se, pelo menos uma coluna da matriz de coeficientes não contém uma posição pivô.”
Informações dadas (explícitas ou implícitas):
  • Tem-se um sistema linear escrito como A x = b, onde A é a matriz de coeficientes de tamanho m\times n, x é o vetor coluna de n incógnitas e b é o vetor de termos independentes.
  • O sistema é consistente (ou seja, existe pelo menos uma solução).
  • A afirmativa relaciona “infinitas soluções” com a existência de ao menos uma coluna de A sem posição pivô.

Passo 2

Entender termos-chave (explicação bem didática):
  • Pivô / posição pivô: ao trazer a matriz A para uma forma escalonada por linhas (eliminação de Gauss), um pivô é o primeiro elemento não zero em uma linha não nula. Cada pivô fica em alguma coluna; dizemos que essa coluna “contém um pivô”.
  • Posto (rank) da matriz A: seja r=\operatorname{rank}(A) o número de pivôs obtidos (número de linhas não nulas na forma escalonada). Tem-se sempre 0\le r\le \min(m,n).
  • Variáveis livres e básicas: se uma coluna de A não contém pivô, a variável correspondente é chamada de variável livre; as colunas que têm pivô correspondem a variáveis básicas (ou principais).
  • Espaço solução: para A x=b consistente, a solução geral pode ser escrita como x = x_p + x_h, onde x_p é uma solução particular de A x=b e x_h é qualquer solução do homogêneo A x=0. O conjunto de soluções do homogêneo é o núcleo (nullspace) de A.

Passo 3

Conectar pivôs ao número de soluções (intuição formal):
  • O número de variáveis é n. O número de pivôs é r. Portanto o número de variáveis livres é n-r.
  • O espaço de soluções do homogêneo A x=0 tem dimensão n-r. Isso é um resultado padrão: as variáveis livres parametricamente geram a família de soluções do homogêneo.
  • Se n-r>0 então o homogêneo tem infinitas soluções não-triviais; assim, para um sistema consistente A x=b existe pelo menos uma solução particular x_p e, somando as infinitas do homogêneo, obtém-se uma família infinita de soluções de A x=b.
  • Conclusão parcial: se existe ao menos uma coluna de A sem pivô, então n-r\ge1, logo o sistema consistente tem infinitas soluções.

Passo 4

Mostrando a direção contrária (necessidade):
  • Se o sistema consistente tem infinitas soluções, então a solução geral contém pelo menos um parâmetro livre (caso contrário seria única). Isso significa que a dimensão do espaço de soluções do homogêneo é \ge1, ou seja n-r\ge1.
  • Daí segue que r<n, então nem todas as n colunas de A contêm pivô — existe pelo menos uma coluna sem pivô.
  • Conclusão parcial: se o sistema consistente tem infinitas soluções, então pelo menos uma coluna da matriz de coeficientes não contém pivô.

Passo 5

Observações para evitar confusões (coisa que cai em prova):
  • É importante que o enunciado fale da matriz de coeficientes A (não da matriz aumentada [A\mid b]). A presença de um pivô na coluna aumentada pode tornar o sistema inconsistente, mas isso não entra na afirmação — aqui estamos assumindo que o sistema é consistente.
  • Resumo prático para usar em prova: calque A em escalonada. Se houver menos pivôs do que incógnitas, haverá variáveis livres e, sob consistência, isso gera parâmetros livres e, portanto, infinitas soluções. Se houver um pivô em cada coluna (ou seja, r=n), então não há variáveis livres e, se o sistema for consistente, a solução é única.

Passo 6

Exemplo rápido e concreto (para fixar):
  • Exemplo com infinitas soluções: x+y=1. Aqui A=[1\\\ 1] tem m=1, n=2. Na forma escalonada há 1 pivô (na primeira coluna) e a segunda coluna não tem pivô, logo n-r=1 variável livre — de fato as soluções são \{(1-t,t)\mid t\in\mathbb{R}\}, infinitas.
  • Exemplo com solução única: sistema x+y=1 e x-y=0. Aqui A=\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&-1\end{pmatrix} tem r=2=n; todas as colunas têm pivô e, se o sistema é consistente, há solução única (aqui x=1/2, y=1/2).

Resposta

Verdadeira

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