Um sistema com mais equações do que incógnitas é chamado de sobredeterminado. Um sistema com mais incógnitas do que equações é chamado de subdeterminado. Existem sistemas sobredeterminados consistentes? Justifique sua resposta e forneça um exemplo, se existirem. É possível encontrar um sistema linear subdeterminado que tenha solução única?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Saber se existem sistemas sobredeterminados (mais equações que incógnitas) que sejam consistentes; se sim, justificar e dar um exemplo.
Saber se é possível ter um sistema linear subdeterminado (mais incógnitas que equações) que tenha solução única.
Informações dadas pelo enunciado:
Um sistema sobredeterminado tem mais equações do que incógnitas (isto é, m>n se m é o número de equações e n o número de incógnitas).
Um sistema subdeterminado tem mais incógnitas do que equações (isto é, m<n).
Passo 2
Primeiro, vou fixar uma notação e um conceito-chave (isso é necessário para justificar as respostas depois).
Escrevemos um sistema linear compacto como A x = b, onde A é uma matriz m\times n, x é o vetor coluna de n incógnitas e b é o vetor de termos independentes.
Definição de consistente: o sistema A x = b é consistente se existe pelo menos um vetor x que satisfaz a equação (ou seja, existe solução).
Matriz aumentada: [A\mid b] é a matriz que se obtém juntando b como uma coluna extra a A.
Passo 3
Um resultado central (teorema de existence) que vou usar e explicar de forma simples:
Seja r=\operatorname{rank}(A) e r'=\operatorname{rank}([A\mid b]).
O sistema A x = b é consistente se e somente se r = r'. Em palavras: não pode surgir nova independência linear ao acrescentar b como coluna; se surgir, o sistema é incompatível.
Se o sistema é consistente, o número de graus de liberdade (variáveis livres) é n-r. Logo:
Se n-r=0 (isto é, r=n) então existe exatamente uma solução.
Se n-r>0 (isto é, r<n) então existem infinitas soluções (um espaço afim de dimensão n-r).
Pequena intuição sobre por que isso vale: \operatorname{rank}(A) conta quantas equações independentes relevantes o sistema tem. Se as equações independentes são tantas quanto as incógnitas (r=n), elas fixam todas as incógnitas num ponto único (se forem compatíveis com b). Se sobram incógnitas sem equações independentes para fixá‑las, elas ficam livres e geram infinitas soluções.
Passo 4
Aplicando isso ao caso sobredeterminado (m>n):
A matriz A tem tamanho m\times n. Logo sempre vale \operatorname{rank}(A)\le \min(m,n)=n.
Portanto é perfeitamente possível ter \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid b]); neste caso o sistema é consistente. Ou seja, existem sistemas sobredeterminados consistentes.
Dois subcasos importantes:
Se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid b])=n, então n-r=0 e o sistema consistente tem solução única.
Se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid b])<n, então o sistema consistente tem infinitas soluções.
Vou mostrar exemplos concretos para fixar a ideia.
Passo 5
Exemplo 1 — sistema sobredeterminado consistente com infinitas soluções:
Considere o sistema com três equações e duas incógnitas
Aqui peguei os três vetores de coeficientes das equações e notei que todos são proporcionais: (1,1), (2,2), (3,3). Assim \operatorname{rank}(A)=1 (apenas uma equação independente). O sistema reduz-se a uma única equação independente
x+y=2.
Logo é consistente e tem infinitas soluções. Escrevendo parametricamente, ponha y=t como parâmetro; então x=2-t. O conjunto de soluções é
\{(x,y)=(2-t,\;t)\mid t\in\mathbb{R}\},
uma reta no plano de incógnitas.]
Passo 6
Exemplo 2 — sistema sobredeterminado consistente com solução única:
Considere agora
Aqui temos m=3, n=2. Resolvo as duas primeiras equações: somando-as,
(x+y)+(x-y)=2+0 \implies 2x=2 \implies x=1.
Substituindo x=1 em x-y=0 dá 1-y=0 então y=1. Verifico a terceira equação 2x=2: com x=1 ela é satisfeita, logo o sistema todo é consistente. Neste caso as duas primeiras equações já determinam as duas incógnitas (ou seja, \operatorname{rank}(A)=2=n), então a solução é única: (x,y)=(1,1).
Esse exemplo ilustra que sistemas sobredeterminados podem ser consistentes e até ter solução única quando as equações independentes são tantas quanto as incógnitas.]
Passo 7
Agora o caso subdeterminado (m<n):
Para A de tamanho m\times n com m<n vale \operatorname{rank}(A)\le \min(m,n)=m. Assim sempre \operatorname{rank}(A)\le m < n.
Portanto não é possível ter \operatorname{rank}(A)=n. Logo, mesmo que o sistema seja consistente (\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid b])), teremos n-r>0, ou seja, pelo menos uma variável livre.
Conclusão: um sistema linear subdeterminado não pode ter solução única; se tiver solução, terá infinitas soluções; caso contrário (se \operatorname{rank}([A\mid b])> \operatorname{rank}(A)) não terá solução.
Passo 8
Exemplo simples que ilustra o subdeterminado com infinitas soluções:
Sistema com uma equação e duas incógnitas:
x+y=2.
Aqui m=1<n=2. A solução é paramétrica: y=t, x=2-t, t\in\mathbb{R}. Há infinitas soluções; não existe solução única.
Resposta
Sim. Existem sistemas sobredeterminados consistentes. Exemplo: \begin{cases}x+y=2,\\[4pt]x-y=0,\\[4pt]2x=2\end{cases} é sobredeterminado (m=3,n=2) e tem solução única (x,y)=(1,1).
Não. Um sistema linear subdeterminado (m<n) não pode ter solução única, porque \operatorname{rank}(A)\le m<n implica n-\operatorname{rank}(A)>0, logo, se consistente, há infinitas soluções.]