Determine quais das seguintes aplicaçōes são transformações lineares: T: P_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}^{3}, T\left(a t^{2}+b t+c\right)=(a, a+b, b-c).
Passo 1
O enunciado dá uma aplicação T: P_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}^{3} definida por
T\bigl(a t^{2}+b t+c\bigr) = (a,\; a+b,\; b-c).
O que está sendo pedido: determinar se essa aplicação é uma transformação linear (ou seja, verificar se T é linear).
Informações relevantes dadas:
O espaço de partida é P_{2}(\mathbb{R}), ou seja, o conjunto dos polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a 2. Um elemento genérico será escrito como a t^{2}+b t+c, onde a,b,c\in\mathbb{R}.
A imagem de um polinômio a t^{2}+b t+c é o vetor (a,\; a+b,\; b-c)\in\mathbb{R}^{3}.
Pergunta: T obedece as propriedades exigidas para ser linear?
Passo 2
Lembrete (definição e estratégia): uma aplicação T entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores u,v do domínio e qualquer escalar \lambda\in\mathbb{R}, valem:
T(u+v)=T(u)+T(v)
e
T(\lambda u)=\lambda\,T(u).
Uma forma compacta e equivalente é verificar que, para quaisquer escalares \alpha,\beta e vetores u,v,
T(\alpha u+\beta v)=\alpha T(u)+\beta T(v).
Vou verificar as duas propriedades (aditividade e homogeneidade) usando um polinômio genérico e mostrando as contas passo a passo.
Passo 3
Escolho dois polinômios genéricos
p(t)=a t^{2}+b t+c,\qquad q(t)=a' t^{2}+b' t+c',
com a,b,c,a',b',c'\in\mathbb{R}.
Primeiro calcule p+q. Os coeficientes somam componente a componente, logo
p+q=(a+a')t^{2}+(b+b')t+(c+c').
Agora aplico T a p+q. Pela definição da aplicação,
Calculo T(p) e T(q) separadamente e depois somo-os.
Pela definição,
T(p) = (a,\; a+b,\; b-c),
T(q) = (a',\; a'+b',\; b'-c').
Somando componente a componente:
T(p)+T(q) = (a+a',\; a+b+a'+b',\; b-c+b'-c').
Reorganizando os termos para comparar com T(p+q):
T(p)+T(q) = (a+a',\; a+a'+b+b',\; b+b'-c-c').
Comparando com o resultado de T(p+q) do Passo 3 vemos que as três componentes coincidem exatamente. Portanto a propriedade de aditividade T(p+q)=T(p)+T(q) está satisfeita para polinômios arbitrários p e q.
Passo 5
Agora verifico homogeneidade com um escalar arbitrário \lambda\in\mathbb{R} e o polinômio genérico p(t)=a t^{2}+b t+c.
O polinômio \lambda p tem coeficientes \lambda a,\lambda b,\lambda c, isto é,
Assim, T(\lambda p)=\lambda T(p) para todo \lambda e todo p.
Passo 6
Comentário adicional (intuição matricial, útil para a prova): se representarmos um polinômio p(t)=a t^{2}+b t+c pelo vetor de coeficientes \begin{pmatrix}a\b\c\end{pmatrix} na base \{t^{2},t,1\}, então T corresponde à multiplicação por uma matriz 3\times3. Observando que