Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} definida por T(1,0,0)=(1,1,0) e T(0,0,1)=(0,0,2) e T(0,1,0)= (1,1,2). Determinar uma base de cada um dos seguintes subespaços vetoriais: \operatorname{Ker}(T), \operatorname{Im}(T), \operatorname{Ker}(T) \cap \operatorname{Im}(T) e \operatorname{Ker}(T)+\operatorname{Im}(T).
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} e informa as imagens dos vetores da base canônica. Perguntas pedidas:
Determinar uma base de \operatorname{Ker}(T).
Determinar uma base de \operatorname{Im}(T).
Determinar uma base de \operatorname{Ker}(T)\cap\operatorname{Im}(T).
Determinar uma base de \operatorname{Ker}(T)+\operatorname{Im}(T).
Explicação didática: a imagem de um vetor (x,y,z) por T é xv_1+yv_2+zv_3. Logo \operatorname{Im}(T) é o subespaço gerado por v_1,v_2,v_3, isto é, a combinação linear das colunas.
Agora verifico dependências lineares entre v_1,v_2,v_3. Calculo v_1+v_3:
v_1+v_3=(1,1,0)+(0,0,2)=(1,1,2)=v_2.
Portanto v_2 é combinação de v_1 e v_3, ou seja v_2=v_1+v_3. Conclusão: \operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{v_1,v_3\}.]
Passo 3
Verifico que v_1 e v_3 são linearmente independentes. Para isso suponha \alpha v_1+\beta v_3=0. Escrevendo coordenadas:
\alpha(1,1,0)+\beta(0,0,2)=(0,0,0)
gera o sistema \alpha=0,\\ \alpha=0,\\\ 2\beta=0. Daí \alpha=0 e \beta=0. Logo são independentes. Assim uma base para \operatorname{Im}(T) é
\{\,v_1=(1,1,0),\;v_3=(0,0,2)\,\}.
Dou uma pequena “aula” prática: para decidir se vetores formam base, precisamos que gerem o subespaço e que sejam linearmente independentes. Aqui geram porque vimos que v_2 está em seu span; e são independentes pelo cálculo acima.
Passo 4
Agora calculo \operatorname{Ker}(T)\). Um vetor geral é \((x,y,z)\). Como \(T(x,y,z)=xv_1+yv_2+zv_3\), imponho \(T(x,y,z)=0\):
\[x(1,1,0)+y(1,1,2)+z(0,0,2)=(0,0,0).
Escrevendo coordenadas isso dá o sistema (equações coordenada a coordenada):
Note que as duas primeiras equações são iguais, então há efetivamente duas equações independentes:
x+y=0,\qquad y+z=0.
Resolvo em função de y\]: da primeira \(x=-y; da segunda z=-y. Logo qualquer vetor no núcleo tem a forma
(x,y,z)=(-y,y,-y)=y(-1,1,-1).
Isso mostra que \operatorname{Ker}(T) é uma reta unidimensional gerada por (-1,1,-1). Portanto uma base do núcleo é, por exemplo,
\{\,(-1,1,-1)\,\}.
Observação didática: podemos multiplicar o gerador por -1 se preferirmos outra forma, por exemplo \{(1,-1,1)\} também é base do núcleo; ambas representam a mesma reta.]
Passo 5
Calculo \operatorname{Ker}(T)\cap\operatorname{Im}(T)\). Um vetor em \(\operatorname{Ker}(T)\) tem a forma \(t(-1,1,-1)\). Quero ver se existe \(t\) (além do \(t=0\)) tal que \(t(-1,1,-1)\) esteja em \(\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{v_1,v_3\}\). Ou seja, procuro \(a,b,t\) com
\[t(-1,1,-1)=a(1,1,0)+b(0,0,2).
Das duas primeiras equações obtemos -t=a\] e \(t=a. Assim -t=t implica t=0. Então só existe a solução trivial t=0. Conclusão: a interseção contém apenas o vetor zero:
Agora \operatorname{Ker}(T)+\operatorname{Im}(T) é o menor subespaço que contém ambos; é o span da união dos geradores. Uma base candidata é a união de uma base de \operatorname{Im}(T) com uma base de \operatorname{Ker}(T), desde que a união seja linearmente independente. Já vimos:
Portanto qualquer base de \mathbb{R}^3 serve; em particular a união das bases que já encontramos é uma base de \mathbb{R}^3. Posso escolher como base
\{\,v_1=(1,1,0),\;v_3=(0,0,2),\;w'=(1,-1,1)\,\},
onde w'=-w=(1,-1,1) (usei w' para ficar com entradas positivas em parte). Essa tripla é linearmente independente e gera \mathbb{R}^3.
Passo 7
Resumo rápido e encorajador: verificamos passo a passo a imagem como span de colunas da matriz de T, resolvemos um sistema linear para o núcleo, verificamos a interseção zero e usamos a soma de subespaços (com a dimensão) para concluir que a soma é todo \mathbb{R}^3. Bom trabalho — você já consegue fazer isso na prova seguindo o mesmo roteiro: formar a matriz, encontrar colunas independentes para a imagem, resolver A\mathbf{x}=0 para o núcleo, e checar interseção somando dimensões.
Resposta
\operatorname{Ker}(T)=\operatorname{span}\{(-1,1,-1)\} \operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{(1,1,0),(0,0,2)\} \operatorname{Ker}(T)\cap\operatorname{Im}(T)=\{0\} (base: \varnothing) \operatorname{Ker}(T)+\operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3 (ex.: base \{(1,1,0),(0,0,2),(1,-1,1)\})