Determine se os seguintes campos são conservativos e, em caso afirmativo, ache seu potencial:
F(x, y, z)=(2 x z+y^2, 2 x y, e^z+x^2)

Passo 1

A questão pede para analisar se o campo F(x,y,z)=(2xz+y^2,;2xy,;e^z+x^2) é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar um potencial. O conteúdo envolve definição de campo conservativo, cálculo de rota-tor (curl) e integração para achar a função potencial.

Passo 2

Primeiro verificamos se F é conservativo checando se nablatimes F=0. Calculamos as derivadas parciais:
  • partial Ppartial y=partialpartial y(2xz+y^2)=2y e partial Qpartial x=partialpartial x(2xy)=2y,
  • partial Ppartial z=2x e partial Rpartial x=partialpartial x(e^z+x^2)=2x,
  • partial Qpartial z=0 e partial Rpartial y=0.
    Como todas as componentes do curl coincidem (todas iguais a zero), temos nablatimes F=0 em R^3 (que é simplesmente conexo). Logo, F é conservativo.

Passo 3

Agora, para achar um potencial phi(x,y,z) tal que nablaphi=F, integramos a primeira componente:
phi(x,y,z)=integral(2xz+y^2),dx = x^2z + xy^2 + h(y,z),
onde h(y,z) é uma função arbitrária. Em seguida, impomos
partialphipartial y=2xy + partial hpartial y = 2xy,
o que dá partial h/partial y=0, logo h=h(z). Finalmente,
partialphipartial z=x^2 + h'(z) = e^z + x^2,
de onde h'(z)=e^z e integrando h(z)=e^z + C. Assim obtemos o potencial.

Resposta

O campo é conservativo e um potencial é phi(x,y,z)=x^2z + xy^2 + e^z + C, com C constante.

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