Determine se os seguintes campos são conservativos e, em caso afirmativo, ache seu potencial:
Passo 1
A questão pede para analisar se o campo
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar um potencial. O conteúdo envolve definição de campo conservativo, cálculo de rota-tor (curl) e integração para achar a função potencial.
Passo 2
Primeiro verificamos se
é conservativo checando se
. Calculamos as derivadas parciais:
-
e , -
e , -
e .
Como todas as componentes do curl coincidem (todas iguais a zero), temosem (que é simplesmente conexo). Logo, é conservativo.
Passo 3
Agora, para achar um potencial
tal que
, integramos a primeira componente:
onde
é uma função arbitrária. Em seguida, impomos
o que dá
, logo
. Finalmente,
de onde
e integrando
. Assim obtemos o potencial.
Resposta
O campo é conservativo e um potencial é
, com
constante.