Determine a divergência e o rotacional dos seguintes campos de vetores:
F(x, y, z)=(cos (x) sen(y), cos (x z), sen(y z))

Passo 1

O enunciado pede para calcular a divergência e o rotacional do campo vetorial F(x,y,z)=(cos x,sin y,;cos(xz),;sin(yz)). Isso faz parte do conteúdo de operações em campos vetoriais, onde precisamos usar derivadas parciais e as definições de divergência e rotacional de um campo em R^3.

Passo 2

Para a divergência lembramos que nablacdot F=partial F1partial x+partial F2partial y+partial F3partial z. Calculando cada termo temos:
partial F1partial x=partialpartial x(cos x,sin y)=-sin x,sin y
partial F2partial y=partialpartial y(cos(xz))=0
partial F3partial z=partialpartial z(sin(yz))=y,cos(yz)
Somando os termos, a divergência fica
nablacdot F=-sin x,sin y+y,cos(yz)

Passo 3

Para o rotacional usamos nablatimes F=(C1,C2,C3) onde
C1=partial F3partial y-partial F2partial z, C2=partial F1partial z-partial F3partial x, C3=partial F2partial x-partial F1partial y
Agora calculamos cada componente:
partial F3partial y=z,cos(yz), partial F2partial z=-x,sin(xz)
partial F1partial z=0, partial F3partial x=0
partial F2partial x=-z,sin(xz), partial F1partial y=cos x,cos y
Substituindo na fórmula do rotacional obtemos:
C1=z,cos(yz)+x,sin(xz), C2=0, C3=-z,sin(xz)-cos x,cos y
Portanto,
nablatimes F=l(z,cos(yz)+x,sin(xz),;0,;-z,sin(xz)-cos x,cos yr)

Resposta

Divergência: nablacdot F=-sin x,sin y+y,cos(yz).
Rotacional: nablatimes F=(z,cos(yz)+x,sin(xz),;0,;-z,sin(xz)-cos x,cos y).

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