Determine se os seguintes conjuntos de funções são linearmente dependentes ou linearmente independentes.
f(x)=9 cos (2 x), g(x)=2 cos ^2(x)-2 sin ^2(x).

Passo 1

Temos as funções f(x)=9\cos(2x) e g(x)=2\cos^2(x) - 2\sin^2(x). O objetivo é verificar se existe combinação linear não-trivial c1 f(x) + c2 g(x) = 0, isto é, identificar dependência ou independência linear do conjunto.

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x). Assim, podemos reescrever g(x) como
g(x)=2cos^2(x)-2sin^2(x)=2l(cos^2(x)-sin^2(x)r)=2cos(2x)

Passo 3

Com isso, f(x)=9\cos(2x) fica relacionado a g(x)=2\cos(2x) por um múltiplo escalar:
f(x)=9cos(2x)=92cdotl(2cos(2x)r)=92,g(x)

Passo 4

Como existe combinação linear não-trivial, por exemplo 2f(x)−9g(x)=0, concluímos que f e g são linearmente dependentes.

Resposta

As funções f e g são linearmente dependentes.

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