Encontre o vértice, o foco e a diretriz da parábola e esboce seu gráfico.
(a) 2 x=-y^2
V(0,0), F(-1 / 2), D: x=-1 / 2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação de uma parábola, , e precisamos encontrar três coisas principais: o vértice, o foco e a diretriz dessa parábola. Além disso, vamos esboçar o gráfico dela. Para resolver isso, vamos revisar um pouco sobre como identificar esses elementos em uma parábola a partir da sua equação.

Passo 2

Vamos começar identificando o vértice da parábola. A forma geral da equação de uma parábola que abre para os lados (horizontalmente) é:
x = a(y - k)^2 + h
Aqui, 2x = -y^2 representa o vértice da parábola. Agora, vamos comparar isso com a nossa equação:
x = -12y^2
Primeiro, vamos isolar o :
Comparando com a forma geral, vemos que e . Portanto, o vértice da parábola é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o foco da parábola. A distância do vértice ao foco é dada pela fórmula:
Distância = 14a â
No nosso caso, Distância = 14 times (-12) = -12 . Substituindo na fórmula:
â
O sinal negativo indica que o foco está do lado oposto da abertura da parábola. Como é negativo, a parábola abre para a esquerda, então o foco está à esquerda do vértice. Portanto, as coordenadas do foco são .

Passo 4

Por último, vamos determinar a diretriz da parábola. A diretriz é uma linha vertical que fica à mesma distância do vértice que o foco, mas no lado oposto da abertura. Usando a distância que calculamos:
Diretriz: x = h - 14a = 0 - (-12) = 12
Portanto, a equação da diretriz é .

Resposta

O vértice da parábola é , o foco está em e a diretriz é a reta . O gráfico da parábola abre para a esquerda, com o vértice na origem.

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