Encontre o vértice, o foco e a diretriz da parábola e esboce seu gráfico.
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação de uma parábola,
, e precisamos encontrar três coisas principais: o vértice, o foco e a diretriz dessa parábola. Além disso, vamos esboçar o gráfico dela. Para resolver isso, vamos revisar um pouco sobre como identificar esses elementos em uma parábola a partir da sua equação.
Passo 2
Vamos começar identificando o vértice da parábola. A forma geral da equação de uma parábola que abre para os lados (horizontalmente) é:
Aqui,
representa o vértice da parábola. Agora, vamos comparar isso com a nossa equação:
Primeiro, vamos isolar o
:
Comparando com a forma geral, vemos que
e
. Portanto, o vértice da parábola é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o foco da parábola. A distância do vértice ao foco é dada pela fórmula:
No nosso caso,
. Substituindo na fórmula:
O sinal negativo indica que o foco está do lado oposto da abertura da parábola. Como
é negativo, a parábola abre para a esquerda, então o foco está à esquerda do vértice. Portanto, as coordenadas do foco são
.
Passo 4
Por último, vamos determinar a diretriz da parábola. A diretriz é uma linha vertical que fica à mesma distância do vértice que o foco, mas no lado oposto da abertura. Usando a distância que calculamos:
Portanto, a equação da diretriz é
.
Resposta
O vértice da parábola é
, o foco está em
e a diretriz é a reta
. O gráfico da parábola abre para a esquerda, com o vértice na origem.