Encontre a solução para o seguinte PVI:
y^prime+yx-raizy=0, y(1)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
y' + yx - raiz y = 0, y(1)=0,
que é uma EDO não-linear de 1ª ordem. Vamos usar a substituição u=raiz y para transformar em uma equação linear em u.

Passo 2

Fazendo y=u^2 temos
y' = 2u,u'
Substituindo na EDO:
2u,u' + u^2x - u = 0
Dividindo por 2u (exceto no caso trivial uequiv0) chegamos a
u' + 12x,u - 12 = 0

Passo 3

Essa é uma equação linear em u. O fator integrante é
mu(x) = e^integral 12xdx = x^1/2
Multiplicando tudo por x^1/2 obtemos
ddxl(u,x^1/2r) = 12 x^1/2

Passo 4

Integrando ambos os lados:
u,x^1/2 = integral 12 x^1/2dx = 13x^3/2 + C
Logo
u(x) = 13x + C,x^-1/2

Passo 5

Usando a condição inicial y(1)=0 implica u(1)=0. Assim,
0 = 13cdot1 + Ccdot1^-1/2 Longrightarrow C = -13
Portanto
u(x) = 13l(x - x^-1/2r)

Passo 6

Voltando a y=u^2, a solução não-trivial é
y(x) = 19l(x - x^-1/2r)^2,
válida para x>=1 (para manter y>=0). Há também a solução trivial yequiv0, mas a solução não-trivial satisfaz o PVI no domínio indicado.

Resposta

y(x) = 19l(x - x^-1/2r)^2, x>=1

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