Determine se os seguintes conjuntos G com as respectivas operações binárias * indicadas formam um grupo. Em caso negativo, explicite quais das propriedades não são válidas.
G=Z e a * b=a+b+a b,

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto G=Z com a operação binária
a * b = a + b + a,b
é um grupo. Para isso, precisamos checar:
  1. Fechamento em Z.
  2. Associatividade de *.
  3. Existência de elemento neutro.
  4. Existência de inversos para todo elemento.

Passo 2

Fechamento: dados a,binZ, temos
a*b = a + b + a,b,
que é soma e produto de inteiros, logo também inteiro. Portanto, Z é fechado sob *.

Passo 3

Associatividade: para a,b,cinZ calculemos
(a*b)*c = (a + b + a,b) + c + c,(a + b + a,b) = a + b + c + a,b + a,c + b,c + a,b,c,
a*(b*c) = a + (b + c + b,c) + a,(b + c + b,c) = a + b + c + a,b + a,c + b,c + a,b,c
Como ambas expressões coincidem, a operação é associativa.

Passo 4

Neutro: seja einZ tal que e * a = a para todo a.
Temos
e * a = e + a + e,a = a Longrightarrow e + e,a = 0 Longrightarrow e(1 + a)=0
Como isso deve valer para todo a, a única solução em Z é e=0. De fato,
0 * a = 0 + a + 0cdot a = a, a * 0 = a + 0 + acdot 0 = a
Logo, o neutro é 0.

Passo 5

Inverso: para cada a buscamos binZ com
a * b = 0 Longrightarrow a + b + a,b = 0 Longrightarrow b(1 + a) = -a Longrightarrow b = -a1+a
Esse b é inteiro somente se 1+a divide a. Em geral, para a=1 vem b=-tfrac12notinZ, e para a=-1 nem mesmo faz sentido pois 1 + a=0. Logo, nem todo a tem inverso em Z.

Resposta

Z com a operação a*b=a+b+ab não forma um grupo, pois embora haja fechamento, associatividade e neutro ( 0), não existe inverso para todo elemento.

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