Determine se os seguintes conjuntos
com as respectivas operações binárias * indicadas formam um grupo. Em caso negativo, explicite quais das propriedades não são válidas.
e
,
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
com a operação binária
é um grupo. Para isso, precisamos checar:
- Fechamento em
. - Associatividade de
. - Existência de elemento neutro.
- Existência de inversos para todo elemento.
Passo 2
Fechamento: dados
, temos
que é soma e produto de inteiros, logo também inteiro. Portanto,
é fechado sob
.
Passo 3
Associatividade: para
calculemos
Como ambas expressões coincidem, a operação é associativa.
Passo 4
Neutro: seja
tal que
para todo
.
Temos
Temos
Como isso deve valer para todo
, a única solução em
é
. De fato,
Logo, o neutro é
.
Passo 5
Inverso: para cada
buscamos
com
Esse
é inteiro somente se
divide
. Em geral, para
vem
, e para
nem mesmo faz sentido pois
. Logo, nem todo
tem inverso em
.