Determine se os seguintes conjuntos G com as respectivas operações binárias * indicadas formam um grupo. Em caso negativo, explicite quais das propriedades não são válidas.
G= conjunto dos números racionais com denominador divisível por 5 (escritos de forma que o numerador e o deniminador sejam primos entre si) e a * b=a+b,

Passo 1

Resumindo, temos G=,a/binQmid gcd(a,b)=1 e 5mid b com a operação a * b = a + b. O conteúdo envolve verificar se (G,*) satisfaz os axiomas de grupo: clausura, elemento neutro, inverso, associatividade (e opcionalmente comutatividade).

Passo 2

Verificação de clausura: precisamos checar se x,yin G implica x+yin G. Tome por exemplo
x = tfrac25, y=tfrac35
Ambos têm denominador 5, então estão em G. Porém
x+y = tfrac25 + tfrac35 = tfrac55 = 1
O número 1 em forma reduzida é tfrac11, cujo denominador 1 não é divisível por 5. Logo x+ynotin G. Assim, a clausura falha.

Passo 3

Verificação do elemento neutro: na adição em Q o neutro é 0, que em forma reduzida é tfrac01. Como 1 não é múltiplo de 5, temos 0notin G. Logo não existe elemento neutro em G, e esse axioma falha também.

Passo 4

Verificação de inversos: supondo que x=a/bin G, seu inverso aditivo seria -a/b, cujo denominador em forma reduzida continua b, ainda múltiplo de 5. Assim, -xin G. Mas como não há neutro em G, a noção de “inverso” fica sem sentido prático. Mesmo assim, o axioma de inverso aditivo só poderia ser aplicado se existisse neutro, o que não ocorre.

Passo 5

Associatividade e comutatividade: como a operação é a soma usual de racionais, ela é associativa e comutativa. Mas falhando clausura e neutro, (G,*) não pode ser um grupo.

Resposta

(G,*) não é um grupo.
Propriedades que não valem: clausura sob + e existência de elemento neutro.

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