Determine se os seguintes conjuntos
com as respectivas operações binárias * indicadas formam um grupo. Em caso negativo, explicite quais das propriedades não são válidas.
conjunto dos números racionais com denominador divisível por 5 (escritos de forma que o numerador e o deniminador sejam primos entre si) e
,
Passo 1
Resumindo, temos
com a operação
. O conteúdo envolve verificar se
satisfaz os axiomas de grupo: clausura, elemento neutro, inverso, associatividade (e opcionalmente comutatividade).
Passo 2
Verificação de clausura: precisamos checar se
implica
. Tome por exemplo
Ambos têm denominador
, então estão em
. Porém
O número
em forma reduzida é
, cujo denominador
não é divisível por
. Logo
. Assim, a clausura falha.
Passo 3
Verificação do elemento neutro: na adição em
o neutro é
, que em forma reduzida é
. Como
não é múltiplo de
, temos
. Logo não existe elemento neutro em
, e esse axioma falha também.
Passo 4
Verificação de inversos: supondo que
, seu inverso aditivo seria
, cujo denominador em forma reduzida continua
, ainda múltiplo de
. Assim,
. Mas como não há neutro em
, a noção de “inverso” fica sem sentido prático. Mesmo assim, o axioma de inverso aditivo só poderia ser aplicado se existisse neutro, o que não ocorre.
Passo 5
Associatividade e comutatividade: como a operação é a soma usual de racionais, ela é associativa e comutativa. Mas falhando clausura e neutro,
não pode ser um grupo.
Resposta
Propriedades que não valem: clausura sob