Mostre que o conjunto das matrizes
com a operação adição é um grupo abeliano.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto das matrizes
com a operação de adição forma um grupo abeliano. Isso significa verificar as cinco propriedades de grupo (fechamento, associatividade, elemento neutro, inverso) e ainda a comutatividade.
Passo 2
Verificamos o fechamento: sejam
Definimos a soma termo a termo por
Como
e
são números reais,
. Logo
.
Passo 3
Verificamos a associatividade: para quaisquer
temos
e
Como a adição em
é associativa,
logo
.
Passo 4
Exibimos o elemento neutro: seja
a matriz cujas entradas são todas zero, ou seja,
Então para toda
em
,
ou seja,
.
Passo 5
Exibimos o inverso de um elemento: para
, definimos
Como
, temos
e
logo
.
Passo 6
Verificamos a comutatividade: para
e
em
,
Como isso vale para todo
, segue que
.
Resposta
Logo
satisfaz fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e inverso, e ainda é comutativo. Portanto é um grupo abeliano.