Mostre que o conjunto das matrizes Mm times n(R) com a operação adição é um grupo abeliano.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto das matrizes ,Mmtimes n(R) com a operação de adição forma um grupo abeliano. Isso significa verificar as cinco propriedades de grupo (fechamento, associatividade, elemento neutro, inverso) e ainda a comutatividade.

Passo 2

Verificamos o fechamento: sejam
A=(Aij),;B=(Bij)in Mmtimes n(R)
Definimos a soma termo a termo por
(A+B)ij=Aij+Bij
Como Aij e Bij são números reais, Aij+BijinR. Logo A+Bin Mmtimes n(R).

Passo 3

Verificamos a associatividade: para quaisquer
A,B,Cin Mmtimes n(R),
temos
l((A+B)+Cr)ij=(A+B)ij+Cij=(Aij+Bij)+Cij
e
l(A+(B+C)r)ij=Aij+(B+C)ij=Aij+(Bij+Cij)
Como a adição em R é associativa,
(Aij+Bij)+Cij=Aij+(Bij+Cij),
logo (A+B)+C=A+(B+C).

Passo 4

Exibimos o elemento neutro: seja 0 a matriz cujas entradas são todas zero, ou seja,
0=(0ij)com 0ij=0inR
Então para toda A=(Aij) em Mmtimes n(R),
(A+0)ij=Aij+0=Aij e (0+A)ij=0+Aij=Aij,
ou seja, A+0=0+A=A.

Passo 5

Exibimos o inverso de um elemento: para A=(Aij), definimos
(-A)ij=-,Aij
Como -AijinR, temos -Ain Mmtimes n(R) e
(A+(-A))ij=Aij+(-Aij)=0ij,
logo A+(-A)=0.

Passo 6

Verificamos a comutatividade: para A=(Aij) e B=(Bij) em Mmtimes n(R),
(A+B)ij=Aij+Bij=Bij+Aij=(B+A)ij
Como isso vale para todo i,j, segue que A+B=B+A.

Resposta

Logo l(Mmtimes n(R),+r) satisfaz fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e inverso, e ainda é comutativo. Portanto é um grupo abeliano.

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