Determine se os seguintes conjuntos G com as respectivas operações binárias * indicadas formam um grupo. Em caso negativo, explicite quais das propriedades não são válidas.
G= conjunto com mais que um elemento e a * b=a.

Passo 1

O enunciado nos dá um conjunto G com mais de um elemento e a operação binária * definida por
a * b = a
para quaisquer a,bin G. Queremos verificar se (G,*) é um grupo, ou seja, se satisfaz:
  1. fechamento,
  2. associatividade,
  3. existência de elemento neutro,
  4. existência de inversos.

Passo 2

Verificamos o fechamento: como a*b=a e ain G, o resultado de a*b está em G. Logo, a operação é fechada em G.

Passo 3

Verificamos a associatividade. Para quaisquer a,b,cin G temos
(a*b)*c = a*c = a
e
a*(b*c) = a*b = a
Como (a*b)*c = a*(b*c), a operação é associativa.

Passo 4

Procuramos o elemento neutro ein G. Para ser neutro, e deve satisfazer
a*e = a e e*a = a
para todo ain G. Mas:
  • a*e = a de fato vale para qualquer e.
  • e*a = e, que só seria igual a a se e=a. Mas isso não pode ocorrer simultaneamente para todo a (já que G tem mais de um elemento).
    Logo, não existe e que seja neutro à esquerda e à direita em todos os casos.

Passo 5

Como não há elemento neutro em (G,*), não podemos definir inversos. Sem neutro, a noção de inverso (um b tal que a*b=e e b*a=e) não se aplica.

Resposta

(G,*) não forma um grupo, pois falta elemento neutro (e, consequentemente, inversos).

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