Determine se os seguintes conjuntos
com as respectivas operações binárias * indicadas formam um grupo. Em caso negativo, explicite quais das propriedades não são válidas.
conjunto com mais que um elemento e
.
Passo 1
O enunciado nos dá um conjunto
com mais de um elemento e a operação binária
definida por
para quaisquer
. Queremos verificar se
é um grupo, ou seja, se satisfaz:
- fechamento,
- associatividade,
- existência de elemento neutro,
- existência de inversos.
Passo 2
Verificamos o fechamento: como
e
, o resultado de
está em
. Logo, a operação é fechada em
.
Passo 3
Verificamos a associatividade. Para quaisquer
temos
e
Como
, a operação é associativa.
Passo 4
Procuramos o elemento neutro
. Para ser neutro,
deve satisfazer
para todo
. Mas:
-
de fato vale para qualquer . -
, que só seria igual a se . Mas isso não pode ocorrer simultaneamente para todo (já que tem mais de um elemento).
Logo, não existeque seja neutro à esquerda e à direita em todos os casos.
Passo 5
Como não há elemento neutro em
, não podemos definir inversos. Sem neutro, a noção de inverso (um
tal que
e
) não se aplica.