Determine se os seguintes conjuntos são subespaços de E. Justifique sua resposta.
W=(x, y, z) in R^3: x=z^2 onde E=R^3.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o espaço vetorial E=R^3 e o subconjunto
W = (x,y,z)inR^3 : x = z^2
Queremos decidir se W é um subespaço de R^3. Para isso precisamos verificar as três propriedades de subespaço:
  1. 0inW.
  2. Fechamento em adição.
  3. Fechamento em multiplicação escalar.

Passo 2

Verificação do vetor nulo:
0=(0,0,0). Como 0 = 0^2, temos (0,0,0)inW. Logo, a primeira condição está satisfeita.

Passo 3

Contraexemplo ao fechamento em multiplicação escalar:
Escolha o vetor
v = (1,0,1)inW,
pois 1 = 1^2. Seja o escalar lambda = 2. Então
lambda v = 2cdot(1,0,1) = (2,0,2)
Para (2,0,2) pertencer a W, deveríamos ter 2 = 2^2 = 4, o que é falso. Portanto lambda vnotinW e a condição de fechamento escalar falha.

Passo 4

Como a multiplicação por escalar não preserva a relação x = z^2, concluímos que W não é fechado em multiplicação escalar e, assim, não é subespaço de R^3.

Resposta

W não é subespaço de R^3.

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