Determine se os seguintes conjuntos são subespaços de
. Justifique sua resposta.
onde
.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos o espaço vetorial
e o subconjunto
Queremos decidir se
é um subespaço de
. Para isso precisamos verificar as três propriedades de subespaço:
-
. - Fechamento em adição.
- Fechamento em multiplicação escalar.
Passo 2
Verificação do vetor nulo:
. Como
, temos
. Logo, a primeira condição está satisfeita.
Passo 3
Contraexemplo ao fechamento em multiplicação escalar:
Escolha o vetor
Escolha o vetor
pois
. Seja o escalar
. Então
Para
pertencer a
, deveríamos ter
, o que é falso. Portanto
e a condição de fechamento escalar falha.
Passo 4
Como a multiplicação por escalar não preserva a relação
, concluímos que
não é fechado em multiplicação escalar e, assim, não é subespaço de
.