Determine se os seguintes conjuntos de vectores são linearmente independentes ou não. Caso não o sejam, indique um subconjunto linearmente independente com o maior número possível de elementos e escreva os restantes como combinação linear desses vectores.
No espaço dos polinómios de grau menor ou igual a
e
.
No espaço dos polinómios de grau menor ou igual a
Passo 1
Resumindo, estamos em
, o espaço dos polinómios de grau
, e temos
Queremos verificar se
é linearmente independente. Para isso, vamos usar a definição:
deve levar só à solução trivial.
Passo 2
Escrevendo
temos o polinómio nulo, logo cada coeficiente em
deve ser zero. Comparando coeficientes:
coeficiente de :
,
coeficiente de :
,
coeficiente de :
,
coeficiente de :
.
coeficiente de
coeficiente de
coeficiente de
coeficiente de
Passo 3
Do sistema
Substituindo em
dá
Isto mostra que existe uma família de soluções não triviais (tomando
), logo os quatro polinómios são linearmente dependentes.
Passo 4
Para extrair um subconjunto maximalmente independente, basta anular o parâmetro livre
. Se
então
, mostrando que
é independente. Logo um subconjunto independente de maior tamanho é
Para escrever
como combinação linear destes três, tomamos por exemplo
. Então
,
,
satisfazem
Resposta
Os polinómios são linearmente dependentes.
Um subconjunto com 3 elementos linearmente independentes é
Um subconjunto com 3 elementos linearmente independentes é
E o polinómio restante escreve-se como