Determine se os seguintes conjuntos de vectores são linearmente independentes ou não. Caso não o sejam, indique um subconjunto linearmente independente com o maior número possível de elementos e escreva os restantes como combinação linear desses vectores.
No espaço dos polinómios de grau menor ou igual a 3, p1(t)=1, p2(t)=1+t, p3(t)=1+t^2+t^3 e p4(t)=1+t+t^2+t^3.

Passo 1

Resumindo, estamos em P3, o espaço dos polinómios de grau <=3, e temos
p1(t)=1, p2(t)=1+t, p3(t)=1+t^2+t^3, p4(t)=1+t+t^2+t^3
Queremos verificar se p1,p2,p3,p4 é linearmente independente. Para isso, vamos usar a definição: alpha1p1+alpha2p2+alpha3p3+alpha4p4=0 deve levar só à solução trivial.

Passo 2

Escrevendo
alpha1p1(t)+alpha2p2(t)+alpha3p3(t)+alpha4p4(t)=0
temos o polinómio nulo, logo cada coeficiente em 1,t,t^2,t^3 deve ser zero. Comparando coeficientes:
coeficiente de 1: alpha1+alpha2+alpha3+alpha4=0,
coeficiente de t: alpha2+alpha4=0,
coeficiente de t^2: alpha3+alpha4=0,
coeficiente de t^3: alpha3+alpha4=0.

Passo 3

Do sistema
alpha2+alpha4=0, alpha3+alpha4=0 implies alpha2=-alpha4, alpha3=-alpha4
Substituindo em alpha1+alpha2+alpha3+alpha4=0
alpha1 - alpha4 - alpha4 + alpha4 = 0 ;Longrightarrow; alpha1=alpha4
Isto mostra que existe uma família de soluções não triviais (tomando alpha4neq0), logo os quatro polinómios são linearmente dependentes.

Passo 4

Para extrair um subconjunto maximalmente independente, basta anular o parâmetro livre alpha4. Se alpha4=0 então alpha1=alpha2=alpha3=0, mostrando que p1,p2,p3 é independente. Logo um subconjunto independente de maior tamanho é
,p1,p2,p3
Para escrever p4 como combinação linear destes três, tomamos por exemplo alpha4=1. Então alpha1=1, alpha2=-1, alpha3=-1 satisfazem
alpha1p1+alpha2p2+alpha3p3+p4=0 ;Longrightarrow; p4 = p2 + p3 - p1

Resposta

Os polinómios são linearmente dependentes.
Um subconjunto com 3 elementos linearmente independentes é
,p1,p2,p3
E o polinómio restante escreve-se como
p4 = -p1 + p2 + p3

Exercícios relacionados