Determine se os seguintes conjuntos de vectores são linearmente independentes ou não. Caso não o sejam, indique um subconjunto linearmente independente com o maior número possível de elementos e escreva os restantes como combinação linear desses vectores.
No espaço das matrizes ,
Passo 1
O enunciado pede para verificar se os vetores v1=1&11&1, v2=0&00&1 e v3=1&-11&1
são linearmente independentes em M2times2(R). Vamos usar o método clássico: montar a,v1 + b,v2 + c,v3 = 0
e ver se a única solução é a=b=c=0.
Passo 2
Escrevendo a combinação
a1&11&1 + b0&00&1 + c1&-11&1 = 0&00&0,
comparamos entrada a entrada:
a + c = 0, &(posição (1,1)) a - c = 0, &(posição (1,2)) a + c = 0, &(posição (2,1)) a + b + c = 0, &(posição (2,2)) çãçãçãçã
Passo 3
Das duas primeiras equações
a + c = 0 e a - c = 0
somando dá 2a=0, logo a=0 e então c=0. Substituindo na última equação a + b + c = 0 surge b=0. Assim só existe a solução trivial a=b=c=0.
Resposta
Os três vetores são linearmente independentes em M2times2(R).