Determine se os seguintes conjuntos de vectores são linearmente independentes ou não. Caso não o sejam, indique um subconjunto linearmente independente com o maior número possível de elementos e escreva os restantes como combinação linear desses vectores.
No espaço dos polinómios de grau menor ou igual a
e
.
No espaço dos polinómios de grau menor ou igual a
Passo 1
O enunciado nos dá o espaço dos polinómios de grau menor ou igual a 3, designado por
, e os vetores (polinómios)
Queremos verificar se o conjunto
é linearmente independente.
Passo 2
Para testar independência, consideramos uma combinação linear que dê o polinómio nulo para todo
:
Passo 3
Substituindo cada
e agrupando termos de acordo com as potências de
, temos
isto é,
Passo 4
Como esse polinómio é identicamente zero, os coeficientes de
Só a solução trivial (\alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=\alpha_{4}=0] satisfaz essa condição.
Passo 5
Como a única combinação linear que anula todos os
é a trivial, concluímos que
é um conjunto de vetores (polinómios) linearmente independentes em
. Além disso, como são 4 vetores num espaço de dimensão 4, eles formam uma base de
.
Resposta
O conjunto
é linearmente independente.