Determine se os seguintes conjuntos de vectores são linearmente independentes ou não. Caso não o sejam, indique um subconjunto linearmente independente com o maior número possível de elementos e escreva os restantes como combinação linear desses vectores.
No espaço dos polinómios de grau menor ou igual a 3, p1(t)=1, p2(t)=1+t, p3(t)=1+t+t^2 e p4(t)=1+t+t^2+t^3.

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço dos polinómios de grau menor ou igual a 3, designado por P3, e os vetores (polinómios)
p1(t)=1, p2(t)=1+t, p3(t)=1+t+t^2, p4(t)=1+t+t^2+t^3
Queremos verificar se o conjunto p1,p2,p3,p4 é linearmente independente.

Passo 2

Para testar independência, consideramos uma combinação linear que dê o polinómio nulo para todo t:
alpha1p1(t)+alpha2p2(t)+alpha3p3(t)+alpha4p4(t)=0,forall t

Passo 3

Substituindo cada pi e agrupando termos de acordo com as potências de t, temos
alpha1cdot1+alpha2(1+t)+alpha3(1+t+t^2)+alpha4(1+t+t^2+t^3)=0,
isto é,
(alpha1+alpha2+alpha3+alpha4) +(alpha2+alpha3+alpha4),t +(alpha3+alpha4),t^2 +alpha4,t^3 =0

Passo 4

Como esse polinómio é identicamente zero, os coeficientes de
Só a solução trivial (\alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=\alpha_{4}=0] satisfaz essa condição.

Passo 5

Como a única combinação linear que anula todos os pi é a trivial, concluímos que p1,p2,p3,p4 é um conjunto de vetores (polinómios) linearmente independentes em P3. Além disso, como são 4 vetores num espaço de dimensão 4, eles formam uma base de P3.

Resposta

O conjunto p1,p2,p3,p4 é linearmente independente.

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