Determine se os seguintes conjuntos de vectores são linearmente independentes ou não. Caso não o sejam, indique um subconjunto linearmente independente com o maior número possível de elementos e escreva os restantes como combinação linear desses vectores. e .
Passo 1
O enunciado dá quatro vetores em :
e pede para verificar se são linearmente independentes. Se não forem, devemos encontrar um subconjunto maximalmente independente e escrever os vetores restantes como combinação linear desse subconjunto. O conteúdo usado será teste de independência via determinante (ou posto) e resolução de sistema linear para combinação.
Passo 2
Para ver se são independentes, formamos a matriz cujas colunas são esses vetores e calculamos o determinante:
Como det(A)neq0, concluímos que u1,u2,u3 são linearmente independentes.
Passo 3
Em R^3 não há nenhum conjunto de mais de 3 vetores independentes, logo o maior subconjunto independente que podemos formar é com 3 vetores. Podemos então tomar
,u1,,u2,,u3
como nosso conjunto maximalmente independente.
Passo 4
Agora expressamos
Escrevendo coordenada a coordenada,
Esse sistema é
Da última equação vem (a+b=1]. Resolvendo em cadeia:
portanto
Passo 5
Logo
u4=tfrac23,u1+tfrac13,u2+tfrac23,u3
Resposta
Os vetores u1,u2,u3 são linearmente independentes e formam um subconjunto maximal. O vetor u4 não acrescenta independência e satisfaz