Determine se os seguintes conjuntos de vectores são linearmente independentes ou não. Caso não o sejam, indique um subconjunto linearmente independente com o maior número possível de elementos e escreva os restantes como combinação linear desses vectores.
Em R^3, u1=(0,1,2), u2=(1,0,2), u3=(1,2,0) e u4=(1,2,2).

Passo 1

O enunciado dá quatro vetores em R^3:
u1=(0,1,2), u2=(1,0,2), u3=(1,2,0), u4=(1,2,2),
e pede para verificar se são linearmente independentes. Se não forem, devemos encontrar um subconjunto maximalmente independente e escrever os vetores restantes como combinação linear desse subconjunto. O conteúdo usado será teste de independência via determinante (ou posto) e resolução de sistema linear para combinação.

Passo 2

Para ver se u1,u2,u3 são independentes, formamos a matriz cujas colunas são esses vetores e calculamos o determinante:
A = 0 & 1 & 1 1 & 0 & 2 2 & 2 & 0
O determinante é
det(A) =0cdot0&22&0 -1cdot1&22&0 +1cdot1&02&2 =-1(1cdot0-2cdot2)+1(1cdot2-0cdot2) =4+2=6neq0
Como det(A)neq0, concluímos que u1,u2,u3 são linearmente independentes.

Passo 3

Em R^3 não há nenhum conjunto de mais de 3 vetores independentes, logo o maior subconjunto independente que podemos formar é com 3 vetores. Podemos então tomar
,u1,,u2,,u3
como nosso conjunto maximalmente independente.

Passo 4

Agora expressamos
Escrevendo coordenada a coordenada,
Esse sistema é
Da última equação vem (a+b=1]. Resolvendo em cadeia:

portanto

Passo 5

Logo
u4=tfrac23,u1+tfrac13,u2+tfrac23,u3

Resposta

Os vetores u1,u2,u3 são linearmente independentes e formam um subconjunto maximal. O vetor u4 não acrescenta independência e satisfaz
u4=tfrac23,u1+tfrac13,u2+tfrac23,u3

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