Complete o conjunto de polinômios p1(t)=t^5+t^4, p2(t)=t^5-3 t^3, p3(t)=t^5+2 t^2, p4(t)=t^5+t até formar uma base de P5, o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 5 .

Passo 1

O enunciado pede para completar os quatro polinômios
p1(t)=t^5+t^4, p2(t)=t^5-3t^3, p3(t)=t^5+2t^2, p4(t)=t^5+t
de modo a obter uma base de P5, o espaço de todos os polinômios de grau <=5. Vamos usar o fato de que dim P5=6 e que já temos quatro vetores independentes, bastando então encontrar dois polinômios adicionais que sejam independentes dos quatro dados.

Passo 2

Mostramos que p1,p2,p3,p4 são linearmente independentes. Suponha
alpha1p1+alpha2p2+alpha3p3+alpha4p4=0
O coeficiente de t^5
alpha1+alpha2+alpha3+alpha4=0,
o de t^4 alpha1=0, o de t^3 -3alpha2=0 Rightarrowalpha2=0, o de t^2 2alpha3=0 Rightarrowalpha3=0 e o de t^1 alpha4=0. Logo todos os alphai são zero e os quatro polinômios são independentes.

Passo 3

Como dim P5=6, precisamos de mais dois vetores para chegar a seis. Qualquer polinômio que não esteja no span de p1,p2,p3,p4 serve. Em particular, o polinômio constante 1 e o monômio t^5 são bons candidatos, pois nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos pi.

Passo 4

Verificamos rápido a independência de 1 e t^5 em relação aos pi. Se
alpha1p1+alpha2p2+alpha3p3+alpha4p4+beta,t^5+gammacdot1=0,
olhando o termo constante vem gamma=0, e olhar o coeficiente de t^5 e dos demais monômios força todos os alphai e beta a serem zero. Assim obtemos independência total dos seis.

Resposta

Uma forma de estender p1,p2,p3,p4 a uma base de P5 é adicionando
p5(t)=1, p6(t)=t^5
Portanto
,p1,,p2,,p3,,p4,,1,,t^5
é uma base de P5.

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