Complete o conjunto de polinômios
,
até formar uma base de
, o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 5 .
Passo 1
O enunciado pede para completar os quatro polinômios
de modo a obter uma base de
, o espaço de todos os polinômios de grau
. Vamos usar o fato de que
e que já temos quatro vetores independentes, bastando então encontrar dois polinômios adicionais que sejam independentes dos quatro dados.
Passo 2
Mostramos que
são linearmente independentes. Suponha
O coeficiente de
dá
o de
dá
, o de
dá
, o de
dá
e o de
dá
. Logo todos os
são zero e os quatro polinômios são independentes.
Passo 3
Como
, precisamos de mais dois vetores para chegar a seis. Qualquer polinômio que não esteja no span de
serve. Em particular, o polinômio constante
e o monômio
são bons candidatos, pois nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos
.
Passo 4
Verificamos rápido a independência de
e
em relação aos
. Se
olhando o termo constante vem
, e olhar o coeficiente de
e dos demais monômios força todos os
e
a serem zero. Assim obtemos independência total dos seis.
Resposta
Uma forma de estender
a uma base de
é adicionando
Portanto
é uma base de
.