Determine se os seguintes conjuntos de vetores são linearmente dependentes ou independentes. Justifique suas respostas.
\{(1,2,3),(4,5,6),(7,8,9)\} \mathrm{em} \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de vetores \{(1,2,3),\,(4,5,6),\,(7,8,9)\}
em \mathbb{R}^3 é linearmente independente ou dependente. Vamos usar a definição de dependência linear: o conjunto é dependente se existir uma combinação linear não trivial que dê o vetor zero.

Passo 2

Lembre‐se de que vetores v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes se, na equação
c_1\,v_1 + c_2\,v_2 + c_3\,v_3 = (0,0,0),
a única solução for c_1=c_2=c_3=0. Caso contrário, eles são linearmente dependentes.

Passo 3

Procuramos escalares c_1,c_2,c_3 não todos nulos tais que
c_1\,(1,2,3) + c_2\,(4,5,6) + c_3\,(7,8,9) = (0,0,0).
Note que
2\,(4,5,6) - (1,2,3) = (8-1,\;10-2,\;12-3) = (7,8,9).
Isto é,
(1,2,3) - 2\,(4,5,6) + (7,8,9) = (0,0,0),
uma combinação não trivial ( 1, -2, 1 não são todos zero).

Resposta

O conjunto é linearmente dependente, pois existe a combinação não trivial
(1,2,3)\;-\;2\,(4,5,6)\;+\;(7,8,9)\;=\;(0,0,0).

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