Determine se os seguintes conjuntos de vetores são linearmente dependentes ou independentes. Justifique suas respostas.
\{(1,2,3),(4,8,12)\} em \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

Temos os vetores v_{1}=(1,2,3) e v_{2}=(4,8,12) em \mathbb{R}^{3}. O conteúdo é dependência linear de vetores: precisamos ver se existe combinação linear não trivial que dê o vetor zero ou, equivalentemente, se um dos vetores é múltiplo escalar do outro.

Passo 2

Pelo método da combinação linear, escrevemos
a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}=(0,0,0).
Isso gera o sistema
\begin{cases} a_{1}+4a_{2}=0,\\\\ 2a_{1}+8a_{2}=0,\\\\ 3a_{1}+12a_{2}=0. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação segue a_{1}=-4a_{2}. Substituindo nas outras:
2(-4a_{2})+8a_{2}=0\quad\text{e}\quad3(-4a_{2})+12a_{2}=0,
ambas verdadeiras para qualquer a_{2}. Logo há infinitas soluções; por exemplo, a_{2}=1 e a_{1}=-4 dão
-4v_{1}+1\cdot v_{2}=(0,0,0),
que é uma combinação não trivial.

Passo 4

Outro argumento mais direto: note que
v_{2}=(4,8,12)=4\,(1,2,3)=4\,v_{1}.
Como v_{2} é múltiplo escalar de v_{1}, os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes, pois v_{2}=4\,v_{1} e existe combinação não trivial que gera o vetor zero.

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