Determine se os seguintes conjuntos de vetores são linearmente dependentes ou independentes. Justifique suas respostas. \{(1,2,3),(3,4,5)\} em \mathbb{R}^{3}.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto \{(1,2,3),\,(3,4,5)\}
em \mathbb{R}^3 é linearmente dependente ou independente.
Conteúdo: dependência linear de vetores em \mathbb{R}^n.
O que vamos usar: definição de dependência linear e teste direto via combinação linear.
Passo 2
Pela definição, os vetores são linearmente dependentes se existirem escalares a e b, não ambos nulos, tais que
a\,(1,2,3) \;+\; b\,(3,4,5) \;=\;(0,0,0).
Caso a única solução seja a=b=0, então o conjunto é linearmente independente.
Passo 3
Escrevendo a combinação linear em coordenadas, temos o sistema