Determine se os seguintes conjuntos de vetores são linearmente dependentes ou independentes. Justifique suas respostas.
\{(1,2,3),(3,4,5)\} em \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto \{(1,2,3),\,(3,4,5)\}
em \mathbb{R}^3 é linearmente dependente ou independente.
Conteúdo: dependência linear de vetores em \mathbb{R}^n.
O que vamos usar: definição de dependência linear e teste direto via combinação linear.

Passo 2

Pela definição, os vetores são linearmente dependentes se existirem escalares a e b, não ambos nulos, tais que
a\,(1,2,3) \;+\; b\,(3,4,5) \;=\;(0,0,0).
Caso a única solução seja a=b=0, então o conjunto é linearmente independente.

Passo 3

Escrevendo a combinação linear em coordenadas, temos o sistema
\begin{cases} a + 3b = 0,\\\\ 2a + 4b = 0,\\\\ 3a + 5b = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem a = -3b. Substituindo na segunda,
2(-3b) + 4b = -6b +4b = -2b =0 \quad\Longrightarrow\quad b=0.
Então a=-3\cdot0=0. E a terceira equação 3a+5b=0 também fica 0=0.

Passo 4

Só existe a solução trivial a=0 e b=0. Logo, não há combinação não trivial que anule os vetores. Portanto, o conjunto é linearmente independente.

Resposta

O conjunto \{(1,2,3),\,(3,4,5)\} é linearmente independente em \mathbb{R}^3.

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