Determine as seguintes derivadas:
, em que
Passo 1
O enunciado pede a derivada de
Este é um problema de derivada de quociente envolvendo funções trigonométricas. Vamos precisar do Regra do Quociente e depois usar identidades trigonométricas para simplificar.
Passo 2
Para aplicar a Regra do Quociente, definimos
Então
A Regra do Quociente dá
$$f’(x)=\frac{u’(x)v(x)-u(x)v’(x)}{[v(x)]^2}
=\frac{(1-\cos2x)(-2\sin2x)-(1+\cos2x)(2\sin2x)}{(1-\cos2x)^2}.$$
Passo 3
Agora simplificamos o numerador. Note que podemos fatorar
:
Logo,
Passo 4
Para deixar tudo em função de
simples, usamos as identidades
Substituindo:
Passo 5
Portanto, chegamos à expressão final para a derivada.
Resposta
-2 \cot x \csc^2 x