Determine as seguintes derivadas:
f^prime(x), em que f(x)=1+cos 2 x1-cos 2 x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=1+cos2x1-cos2x
Este é um problema de derivada de quociente envolvendo funções trigonométricas. Vamos precisar do Regra do Quociente e depois usar identidades trigonométricas para simplificar.

Passo 2

Para aplicar a Regra do Quociente, definimos
u(x)=1+cos2x, v(x)=1-cos2x
Então
u'(x)=-2sin2x, v'(x)=2sin2x
A Regra do Quociente dá
$$f’(x)=\frac{u’(x)v(x)-u(x)v’(x)}{[v(x)]^2}
=\frac{(1-\cos2x)(-2\sin2x)-(1+\cos2x)(2\sin2x)}{(1-\cos2x)^2}.$$

Passo 3

Agora simplificamos o numerador. Note que podemos fatorar 2sin2x:
(1-cos2x)(-2sin2x)-(1+cos2x)(2sin2x) &=-2sin2x(1-cos2x)-2sin2x(1+cos2x) &=-2sin2xl[(1-cos2x)+(1+cos2x)r] &=-2sin2xcdot2 &=-4sin2x
Logo,
f'(x)=-4sin2x(1-cos2x)^2

Passo 4

Para deixar tudo em função de x simples, usamos as identidades
sin2x=2sin xcos x, 1-cos2x=2sin^2x
Substituindo:
f'(x)=-4(2sin xcos x)(2sin^2x)^2 =-8sin xcos x4sin^4x =-2cos xsin^3x =-2cot xcsc^2x

Passo 5

Portanto, chegamos à expressão final para a derivada.

Resposta

-2 \cot x \csc^2 x

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