Encontre a solução do PVI
& x y^prime+2 y=4 x^2 & y(1)=2

Passo 1

O enunciado pede para a gente resolver o PVI dado por
x,y'+2y=4x^2,
com a condição inicial y(1)=2. Isso é uma EDO linear de primeira ordem: vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro a gente põe a equação em forma padrão dividindo tudo por x (assumindo xneq0):
y'+2x,y=4x
Nesse formato identificamos p(x)=2/x e q(x)=4x.

Passo 3

Para EDO linear, calculamos o fator integrante
mu(x)=e^integral p(x),dx=e^integral 2xdx=e^2ln|x|=x^2
Multiplicamos a equação padrão por x^2:
x^2y'+2x,y=4x^3
O lado esquerdo é exatamente a derivada de x^2y.

Passo 4

Integrando ambos os lados em relação a x:
ddx(x^2y)=4x^3
x^2y=integral4x^3dx=x^4+C
Dividindo por x^2 obtemos
y(x)=x^2+C,x^-2

Passo 5

Agora usamos a condição inicial y(1)=2:
2=1+Ccdot1^-2=1+C
Logo C=1. Substituindo de volta, a solução do PVI é
y(x)=x^2+1x^2

Resposta

y(x)=x^2+1x^2

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