São dados f(x), a e L, bem como lim x a f(x)=L. Simplifique a lei da função e use as propriedades das desigualdades, determine um de0 tal que a afirmativa
se 0<|x-a|ã
seja verdadeira para o valor dado de epsilon
lim x 3 x^2-9
x-3=6 e epsilon=0,001

Passo 1

Temos aqui a função f(x)=x^2−9, o ponto a=3 e o limite L=0, e queremos mostrar que para ε=0,001 existe δ>0 tal que se 0<|x−3|<δ então |f(x)−0|<ε.

Passo 2

Começamos fatorando f(x)−L:
f(x)−L = x^2−9 = (x−3)(x+3)
Daí
|f(x)−L| = |x−3|,|x+3|

Passo 3

Para controlar |x+3|, escrevemos
x+3 = (x−3)+6 implies |x+3| <= |x−3| + 6
Se garantirmos |x−3|<1, então
|x+3| < 1 + 6 = 7

Passo 4

Logo, sempre que |x−3|<δ e δ≤1, temos
|f(x)−L| = |x−3|,|x+3| < |x−3|cdot 7
Para que isso seja menor que ε, basta exigir
|x−3| < ε7

Passo 5

Concluímos que uma boa escolha é
δ = minl(1,,ε7r)
Substituindo ε=0,001 obtemos δ=min(1,0{,}001/7)=0{,}001/7≈0{,}000142857.

Resposta

Uma escolha válida é δ = \frac{0{,}001}{7} ≈ 1{,}42857\times10^{-4}.

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