Determine as seguintes derivadas
k) y=5^raizx
Resposta: y^prime=5^raizx ^2 52 raizx

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função y = 5^raizx. O conteúdo envolvido é a derivação de uma exponencial de base constante composta com raiz quadrada, portanto precisaremos usar a regra da cadeia e a propriedade a^u = e^uln a.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a exponencial de base 5 em termos da função exponencial natural. Definimos u = raizxln 5 de modo que
y = 5^raizx = e^raizxln 5 = e^u

Passo 3

Em seguida, aplicamos a regra da cadeia para derivar y = e^u. Temos
dydx = e^u cdot dudx

Passo 4

Agora calculamos du/dx. Como u = raizxln 5 = x^1/2ln 5, sua derivada é
dudx = ln 5 cdot ddxl(x^1/2r) = ln 5 cdot 12raizx

Passo 5

Substituindo e^u = 5^raizx e du/dx na expressão de y', obtemos
y' = 5^raizx cdot ln 52raizx

Resposta

y' = 5^raizx ;ln 52raizx

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